Теория функций комплексного переменного. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

58 §8. òÑÄÙ ìÏÒÁÎÁ. éÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ
éÓÓÌÅÄÕÅÍ ×ÔÏÒÏÊ ÒÑÄ
∞
P
n=1
(z − 3i)
n
5
n
n
5
. ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ
R = lim
n→∞
|c
n
|
|c
n+1
|
= lim
n→∞
5
n+1
(n + 1)
5
5
n
n
5
= lim
n→∞
5
1 +
1
n
5
= 5.
îÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ |z − 3i| = 5 ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ, ÔÁË ËÁË
∞
X
n=1
(z − 3i)
n
5
n
n
5
=
∞
X
n=1
5
n
5
n
n
5
=
∞
X
n=1
1
n
5
.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÂÌÁÓÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ×ÔÏÒÏÇÏ ÒÑÄÁ |z − 3i| 6 5. òÑÄ
∞
X
n=1
2
n
(z − 3i)
n
+
∞
X
n=1
(z − 3i)
n
5
n
n
5
ÓÈÏÄÉÔÓÑ × ËÏÌØÃÅ 2 < |z − 3i| 6 5.
ðÒÉÍÅÒ 3. îÁÊÔÉ ÏÂÌÁÓÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ
∞
X
n=1
n
(z + 2 − 4i)
n
+
∞
X
n=1
n(z + 2 − 4i)
n
.
òÅÛÅÎÉÅ: îÁÊÄÅÍ ÒÁÄÉÕÓÙ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÜÔÉÈ ÒÑÄÏ×
r = lim
n→∞
n
p
|c
n
| = lim
n→∞
n
√
n = 1
É
R = lim
n→∞
1
n
p
|c
n
|
= lim
n→∞
1
n
√
n
= 1.
ðÏÌÕÞÉÌÉ R = r. éÓÓÌÅÄÕÅÍ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄÁ
∞
P
n=1
n
(z + 2 − 4i)
n
ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏ-
ÓÔÉ |z + 2 − 4i| = 1. ïÎ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ, ÔÁË ËÁË ÏÂÝÉÊ ÞÌÅÎ ÎÅ ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë
ÎÕÌÀ. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÁÎÎÙÊ ÒÑÄ ×ÓÀÄÕ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
8.2. òÑÄÙ ìÏÒÁÎÁ
ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ f (z) ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ × ËÏÌØÃÅ V
R,r
:= {z |r < |z − z
0
| < R}.
òÑÄ ×ÉÄÁ
∞
X
n=−∞
c
n
(z − z
0
)
n
, c
n
=
1
2πi
Z
•
f(z)
(z − z
0
)
n+1
dz, n ∈ Z,
ÇÄÅ • ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ |z − z
0
| = ρ, r < ρ < R, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÑÄÏÍ ìÏÒÁÎÁ
ÆÕÎËÃÉÉ f (z) × ËÏÌØÃÅ V
R,r
:= {z |r < |z − z
0
| < R}.
58                         §8. òÑÄÙ ìÏÒÁÎÁ. éÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ

                         P∞ (z − 3i)n
éÓÓÌÅÄÕÅÍ ×ÔÏÒÏÊ ÒÑÄ             n n5
                                        . ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ
                         n=1   5
                                                               5
                                    5n+1(n + 1)5
                                                        
                   |cn |                                     1
          R = lim         = lim                  = lim 5 1 +      = 5.
              n→∞ |cn+1 |    n→∞        5n n5      n→∞       n
îÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ |z − 3i| = 5 ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ, ÔÁË ËÁË
                      ∞               ∞             ∞
                     X   (z − 3i)n   X    5n       X   1
                             n   5
                                   =       n   5
                                                 =       5
                                                           .
                     n=1
                           5   n     n=1
                                         5   n     n=1
                                                       n
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÂÌÁÓÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ×ÔÏÒÏÇÏ ÒÑÄÁ |z − 3i| 6 5. òÑÄ
                         ∞                ∞
                         X        2n      X (z − 3i)n
                                        +
                         n=1
                               (z − 3i)n n=1 5n n5
ÓÈÏÄÉÔÓÑ × ËÏÌØÃÅ 2 < |z − 3i| 6 5.
   ðÒÉÍÅÒ 3. îÁÊÔÉ ÏÂÌÁÓÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ
                    ∞                    ∞
                   X         n          X
                                    n
                                      +     n(z + 2 − 4i)n.
                   n=1
                       (z + 2 − 4i)     n=1
     òÅÛÅÎÉÅ: îÁÊÄÅÍ ÒÁÄÉÕÓÙ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÜÔÉÈ ÒÑÄÏ×
                              p             √
                      r = lim n |cn | = lim n n = 1
                               n→∞            n→∞
É
                                1            1
                      R = lim p      =  lim √    = 1.
                          n→∞ n |c |   n→∞ n n
                                  n
                                              P∞       n
ðÏÌÕÞÉÌÉ R = r. éÓÓÌÅÄÕÅÍ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄÁ                     n
                                                                ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏ-
                                             n=1 (z + 2 − 4i)
ÓÔÉ |z + 2 − 4i| = 1. ïÎ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ, ÔÁË ËÁË ÏÂÝÉÊ ÞÌÅÎ ÎÅ ÓÔÒÅÍÉÔÓÑ Ë
ÎÕÌÀ. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÄÁÎÎÙÊ ÒÑÄ ×ÓÀÄÕ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.

8.2. òÑÄÙ ìÏÒÁÎÁ

ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ f (z) ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ × ËÏÌØÃÅ VR,r := {z |r < |z − z0 | < R}.
  òÑÄ ×ÉÄÁ
             ∞
                                      1       f (z)
            X                            Z
                             n
                 cn (z − z0 ) , cn =                  n+1
                                                          dz, n ∈ Z,
           n=−∞
                                     2πi   (z − z 0 )
                                          •

ÇÄÅ • ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ |z − z0 | = ρ, r < ρ < R, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÑÄÏÍ ìÏÒÁÎÁ
ÆÕÎËÃÉÉ f (z) × ËÏÌØÃÅ VR,r := {z |r < |z − z0 | < R}.

Страницы