Теория функций комплексного переменного. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§8. òÑÄÙ ìÏÒÁÎÁ. éÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ 59
÷ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑÈ Ï ÒÁÚÌÏÖÉÍÏÓÔÉ ÆÕÎËÃÉÉ × ÒÑÄ ìÏÒÁÎÁ ÏÓÎÏ×ÎÙÍÉ Ñ×ÌÑ-
ÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ:
1. ïÄÎÏÚÎÁÞÎÁÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ × ËÏÌØÃÅ V
R,r
:= {z |r < |z −z
0
| < R} ÆÕÎË-
ÃÉÑ f(z) × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ËÏÌØÃÁ V
R,r
ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ
ÓÈÏÄÑÝÉÍÓÑ ÒÑÄÏÍ ìÏÒÁÎÁ.
+∞
X
n=−∞
c
n
(z − z
0
)
n
, c
n
=
1
2πi
Z
•
f(z)
(z − z
0
)
n+1
dz, n ∈ Z.
òÑÄ
−1
X
n=−∞
c
n
(z − z
0
)
n
ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÞÁÓÔØÀ ÒÑÄÁ ìÏÒÁÎÁ. òÑÄ
∞
X
n=0
c
n
(z − z
0
)
n
ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÐÒÁ×ÉÌØÎÏÊ ÞÁÓÔØÀ ÒÑÄÁ ìÏÒÁÎÁ.
2. åÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ f(z) ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ × ËÒÕÇÅ |z −z
0
| < R, ÔÏ ÒÑÄ ìÏÒÁÎÁ
× ÜÔÏÍ ËÒÕÇÅ ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÒÑÄÏÍ ôÅÊÌÏÒÁ ÄÌÑ ÜÔÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ.
3. ìÀÂÏÊ ÒÑÄ
∞
P
n=−∞
c
n
(z−z
0
)
n
× ËÏÌØÃÅ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÄÏÍ ìÏÒÁÎÁ
Ó×ÏÅÊ ÓÕÍÍÙ
S(z) =
∞
X
n=−∞
c
n
(z − z
0
)
n
.
HÁ ÐÒÁËÔÉËÅ, ÐÒÉ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ ÆÕÎËÃÉÉ f (z) × ËÏÌØÃÅ V
R,r
× ÒÑÄ ìÏÒÁÎÁ,
ÆÏÒÍÕÌÁ c
n
=
1
2πi
Z
•
f(z)
(z − z
0
)
n+1
dz, n ∈ Z ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ×
ÒÑÄÁ ìÏÒÁÎÁ ÐÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ ÒÅÄËÏ. äÌÑ ÐÏÌÕÞÅÎÉÑ ìÏÒÁÎÏ×ÓËÉÈ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÊ
ÍÏÖÎÏ ×ÏÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÌÀÂÙÍ ÚÁËÏÎÎÙÍ ÐÒÉÅÍÏÍ. þÁÓÔÏ ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÉÓÐÏÌØ-
ÚÕÀÔÓÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÊ × ÒÑÄ ôÅÊÌÏÒÁ, ËÏÔÏÒÙÅ ÐÒÉ×ÅÄÅÎÙ
× ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÐÁÒÁÇÒÁÆÅ.
ðÒÉÍÅÒ 4. æÕÎËÃÉÀ f(z) =
1
z
2
+ 4
ÒÁÚÌÏÖÉÔØ × ÒÑÄ ìÏÒÁÎÁ × ËÏÌØÃÅ
V
4,0
:= {z |0 < |z − 2i| < 4}.
òÅÛÅÎÉÅ: úÁÐÉÛÅÍ f(z) × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ ÐÒÏÓÔÙÈ ÄÒÏÂÅÊ
f(z) =
1
z
2
+ 4
= −
i
4(z − 2i)
+
i
4(z + 2i)
= −
i
4(z − 2i)
+
1
16(1 +
(z−2i)
4i
)
.
§8. òÑÄÙ ìÏÒÁÎÁ. éÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ                                  59

   ÷ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑÈ Ï ÒÁÚÌÏÖÉÍÏÓÔÉ ÆÕÎËÃÉÉ × ÒÑÄ ìÏÒÁÎÁ ÏÓÎÏ×ÎÙÍÉ Ñ×ÌÑ-
ÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ:
   1. ïÄÎÏÚÎÁÞÎÁÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ × ËÏÌØÃÅ VR,r := {z |r < |z −z0 | < R} ÆÕÎË-
ÃÉÑ f (z) × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ËÏÌØÃÁ VR,r ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ
ÓÈÏÄÑÝÉÍÓÑ ÒÑÄÏÍ ìÏÒÁÎÁ.
               +∞
                                        1       f (z)
               X                           Z
                   cn (z − z0 )n, cn =                  n+1
                                                            dz, n ∈ Z.
              n=−∞
                                       2πi   (z − z 0 )
                                              •

òÑÄ
                                  −1
                                  X
                                         cn (z − z0 )n
                                 n=−∞
ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÇÌÁ×ÎÏÊ ÞÁÓÔØÀ ÒÑÄÁ ìÏÒÁÎÁ. òÑÄ
                                  ∞
                                  X
                                        cn (z − z0 )n
                                  n=0

ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÐÒÁ×ÉÌØÎÏÊ ÞÁÓÔØÀ ÒÑÄÁ ìÏÒÁÎÁ.
   2. åÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ f (z) ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ × ËÒÕÇÅ |z − z0 | < R, ÔÏ ÒÑÄ ìÏÒÁÎÁ
× ÜÔÏÍ ËÒÕÇÅ ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÒÑÄÏÍ ôÅÊÌÏÒÁ ÄÌÑ ÜÔÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ.
                 ∞
                     cn (z−z0 )n × ËÏÌØÃÅ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÄÏÍ ìÏÒÁÎÁ
                 P
   3. ìÀÂÏÊ ÒÑÄ
                    n=−∞
Ó×ÏÅÊ ÓÕÍÍÙ
                                        ∞
                                        X
                              S(z) =          cn (z − z0 )n .
                                       n=−∞

  HÁ ÐÒÁËÔÉËÅ, ÐÒÉ
                 Z ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ ÆÕÎËÃÉÉ f (z) × ËÏÌØÃÅ VR,r × ÒÑÄ ìÏÒÁÎÁ,
              1       f (z)
ÆÏÒÍÕÌÁ cn =                    dz, n ∈ Z ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ×
             2πi   (z − z0 )n+1
                       •
ÒÑÄÁ ìÏÒÁÎÁ ÐÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ ÒÅÄËÏ. äÌÑ ÐÏÌÕÞÅÎÉÑ ìÏÒÁÎÏ×ÓËÉÈ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÊ
ÍÏÖÎÏ ×ÏÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÌÀÂÙÍ ÚÁËÏÎÎÙÍ ÐÒÉÅÍÏÍ. þÁÓÔÏ ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÉÓÐÏÌØ-
ÚÕÀÔÓÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÊ × ÒÑÄ ôÅÊÌÏÒÁ, ËÏÔÏÒÙÅ ÐÒÉ×ÅÄÅÎÙ
× ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÐÁÒÁÇÒÁÆÅ.
                                 1
   ðÒÉÍÅÒ 4. æÕÎËÃÉÀ f (z) = 2       ÒÁÚÌÏÖÉÔØ × ÒÑÄ ìÏÒÁÎÁ × ËÏÌØÃÅ
                               z +4
V4,0 := {z |0 < |z − 2i| < 4}.
   òÅÛÅÎÉÅ: úÁÐÉÛÅÍ f (z) × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ ÐÒÏÓÔÙÈ ÄÒÏÂÅÊ
                  1         i         i            i           1
   f (z) =           =−          +          =−          +                .
             z2   +4    4(z − 2i) 4(z + 2i)    4(z − 2i) 16(1 + (z−2i) )
                                                                  4i

Страницы