Теория функций комплексного переменного. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

60 §8. òÑÄÙ ìÏÒÁÎÁ. éÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ
òÁÚÌÏÖÉÍ × ÒÑÄ ôÅÊÌÏÒÁ ÆÕÎËÃÉÀ
1
16
1 +
z−2i
4i
. ôÁË ËÁË
z−2i
4i
< 1 × ËÏÌØÃÅ
0 < |z − 2i| < 4, ÔÏ ×ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅÍ
1
1 + z
=
∞
X
n=0
(−1)
n
z
n
, |z| < 1,
É ÐÏÌÕÞÉÍ
1
16(1 +
(z−2i)
4i
)
= 16
∞
X
n=0
(−1)
n
(z − 2i)
4i
n
=
∞
X
n=0
i
n
4
n+2
(z − 2i)
n
.
ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÉÍÅÅÍ
f(z) =
1
z
2
+ 4
= −
i
4(z − 2i)
+
∞
X
n=0
i
n
4
n+2
(z − 2i)
n
.
ðÒÉÍÅÒ 5. æÕÎËÃÉÀ f(z) = ze
1
z−1
ÒÁÚÌÏÖÉÔØ × ÒÑÄ ìÏÒÁÎÁ × ËÏÌØÃÅ
V
3,0
:= {z |0 < |z − 1| < 3}.
òÅÛÅÎÉÅ: ïÂÏÚÎÁÞÉÍ z − 1 = u, ÔÏÇÄÁ f (z) = (u + 1)e
1
u
. ÷ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ
ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅÍ × ÒÑÄ ôÅÊÌÏÒÁ ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ:
e
z
=
∞
X
n=0
z
n
n!
.
ïÔËÕÄÁ
e
1
u
=
∞
X
n=0
1
n!
1
u
n
, |u| 6= 0.
ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÐÏÌÕÞÉÍ
f(z) = (u + 1)e
1
u
= (u + 1)
∞
X
n=0
1
n!
1
u
n
=
∞
X
n=0
1
n!
1
u
n−1
+
∞
X
n=0
1
n!
1
u
n
=
= u + 1 +
∞
X
n=1
1
(n + 1)!
1
u
n
+ 1 +
∞
X
n=1
1
n!
1
u
n
= u + 2 +
∞
X
n=1
n + 2
(n + 1)!
1
u
n
=
= z + 1 +
∞
X
n=1
n + 2
(n + 1)!
1
(z − 1)
n
, |z − 1| > 0.
ðÒÉÍÅÒ 6. òÁÚÌÏÖÉÔØ ÆÕÎËÃÉÀ
f(z) =
1
(z − 1)(z − 2)
60                             §8. òÑÄÙ ìÏÒÁÎÁ. éÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ
                                         1                       z−2i
òÁÚÌÏÖÉÍ × ÒÑÄ ôÅÊÌÏÒÁ ÆÕÎËÃÉÀ                   . ôÁË ËÁË             < 1 × ËÏÌØÃÅ
                                    16 1 + z−2i
                                            4i
                                                                  4i

0 < |z − 2i| < 4, ÔÏ ×ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅÍ
                                       ∞
                              1    X
                                 =     (−1)nz n , |z| < 1,
                             1+z   n=0
É ÐÏÌÕÞÉÍ
                            ∞                  n X ∞
                                                         in
                                     
              1            X
                                    n (z − 2i)
               (z−2i)
                      = 16     (−1)              =       n+2
                                                             (z − 2i)n.
         16(1 + 4i )       n=0
                                         4i        n=0
                                                       4
ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÉÍÅÅÍ
                                         ∞
                         1        i      X    in
               f (z) = 2   =−          +      n+2
                                                  (z − 2i)n.
                      z +4    4(z − 2i) n=0 4
                                              1
   ðÒÉÍÅÒ 5. æÕÎËÃÉÀ f (z) = ze z−1 ÒÁÚÌÏÖÉÔØ × ÒÑÄ ìÏÒÁÎÁ × ËÏÌØÃÅ
V3,0 := {z |0 < |z − 1| < 3}.
                                                        1
   òÅÛÅÎÉÅ: ïÂÏÚÎÁÞÉÍ z − 1 = u, ÔÏÇÄÁ f (z) = (u + 1)e u . ÷ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ
ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅÍ × ÒÑÄ ôÅÊÌÏÒÁ ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ:
                                              ∞
                                        z
                                              X zn
                                      e =                .
                                              n=0
                                                    n!
ïÔËÕÄÁ
                                  ∞      n
                              1
                                 X   1 1
                             e =
                              u              , |u| 6= 0.
                                 n=0
                                     n!  u
ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÐÏÌÕÞÉÍ
                             ∞      n X ∞              ∞
                   1
                            X   1 1          1 1        X   1 1
 f (z) = (u + 1)e = (u + 1)
                   u                   =          n−1
                                                      +          n
                                                                   =
                            n=0
                                n!  u    n=0
                                             n! u       n=0
                                                            n! u
                  ∞                       ∞                ∞
                  X        1     1       X   1 1          X    n+2 1
      =u+1+                        n
                                     +1+          n
                                                    =u+2+                n
                                                                           =
                  n=1
                        (n + 1)! u       n=1
                                             n! u         n=1
                                                              (n + 1)! u
                                              ∞
                                             X    n+2        1
                                       =z+1+                      n
                                                                    , |z − 1| > 0.
                                             n=1
                                                 (n + 1)! (z − 1)
     ðÒÉÍÅÒ 6. òÁÚÌÏÖÉÔØ ÆÕÎËÃÉÀ
                                                  1
                                  f (z) =
                                            (z − 1)(z − 2)

Страницы