Теория функций комплексного переменного. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

62 §8. òÑÄÙ ìÏÒÁÎÁ. éÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ
3) ðÒÉ |z| > 2 ÄÒÏÂØ
1
1 − z
ÉÍÅÅÔ ÔÏ ÖÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ, ÞÔÏ É × ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÍ
ÐÕÎËÔÅ, Á ÄÒÏÂØ
1
z − 2
ÒÁÚÌÁÇÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ:
1
z − 2
=
1
z
1
1 −
2
z
=
1
z
∞
X
n=0
2
n
z
n
=
∞
X
n=0
2
n
z
n+1
=
∞
X
n=1
2
n−1
z
n
.
éÔÁË,
f(z) =
1
(z − 1)(z − 2)
=
∞
X
n=1
(2
n−1
− 1)
1
z
n
, |z| > 2.
8.3. éÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÇÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÁ
ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ f ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ × ÔÏÞËÅ z = a. ôÏÞËÁ z = a
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ f, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÁÑ
ÐÒÏËÏÌÏÔÁÑ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÜÔÏÊ ÔÏÞËÉ, Ô.Å. ËÏÌØÃÏ V
R,0
:= {z |0 < |z| < R}, ×
ËÏÔÏÒÏÍ ÆÕÎËÃÉÑ f ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ.
ðÕÓÔØ z = a ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÏÓÏÂÁÑ ÔÏÞËÁ ÆÕÎËÃÉÉ f . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÁÚ-
ÌÏÖÅÎÉÅ × ËÏÌØÃÅ V
R,0
ÆÕÎËÃÉÉ f × ÒÑÄ ìÏÒÁÎÁ
f(z) =
∞
X
n=−∞
c
n
(z − z
0
)
n
.
÷ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÒÁÚÌÉÞÁÀÔ ÔÒÉ ÔÉÐÁ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÏÓÏÂÙÈ
ÔÏÞÅË.
1. åÓÌÉ × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ × ÒÑÄ ìÏÒÁÎÁ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ ÇÌÁ×ÎÁÑ ÞÁÓÔØ, Ô.Å. ÞÌÅÎÙ
Ó ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÙÍÉ ÓÔÅÐÅÎÑÍÉ
f(z) =
∞
X
n=0
c
n
(z − z
0
)
n
,
ÔÏ ÔÏÞËÁ z = a ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÓÔÒÁÎÉÍÏÊ ÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ f .
ðÒÉ ÐÏÄÈÏÄÅ Ë ÕÓÔÒÁÎÉÍÏÊ ÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÅ z = a ÆÕÎËÃÉÑ f ÉÍÅÅÔ ËÏÎÅÞÎÙÊ
ÐÒÅÄÅÌ, É ÅÓÌÉ ÅÇÏ ÐÒÉÎÑÔØ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ × ÔÏÞËÅ z = a, ÔÏ
f ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ × ÔÏÞËÅ z = a.
2. åÓÌÉ × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ × ÒÑÄ ìÏÒÁÎÁ ÇÌÁ×ÎÁÑ ÞÁÓÔØ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ËÏÎÅÞÎÏÅ
ÞÉÓÌÏ ÞÌÅÎÏ×
f(z) =
−1
X
n=−m
c
n
(z − z
0
)
n
+
∞
X
n=0
c
n
(z − z
0
)
n
, m > 0, c
m
6= 0,
ÔÏ ÔÏÞËÁ z = a ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÏÌÀÓÏÍ ÐÏÒÑÄËÁ m ÆÕÎËÃÉÉ f .
62                       §8. òÑÄÙ ìÏÒÁÎÁ. éÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ
                           1
  3) ðÒÉ |z| > 2 ÄÒÏÂØ         ÉÍÅÅÔ ÔÏ ÖÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ, ÞÔÏ É × ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÍ
                         1−z
                   1
ÐÕÎËÔÅ, Á ÄÒÏÂØ         ÒÁÚÌÁÇÁÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ:
                 z−2
                                    ∞         ∞            ∞
               1       1 1       1 X 2n X 2n              X   2n−1
                    =          =           =            =          .
             z−2 z           2   z n=0 z n       z n+1         z n
                         1−                  n=0          n=1
                             z
éÔÁË,
                                         ∞
                             1         X                1
             f (z) =                 =     (2n−1 − 1) n , |z| > 2.
                      (z − 1)(z − 2) n=1               z

8.3. éÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÇÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÁ

ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ f ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ × ÔÏÞËÅ z = a. ôÏÞËÁ z = a
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ f , ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÁÑ
ÐÒÏËÏÌÏÔÁÑ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÜÔÏÊ ÔÏÞËÉ, Ô.Å. ËÏÌØÃÏ VR,0 := {z |0 < |z| < R}, ×
ËÏÔÏÒÏÍ ÆÕÎËÃÉÑ f ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ.
   ðÕÓÔØ z = a ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÏÓÏÂÁÑ ÔÏÞËÁ ÆÕÎËÃÉÉ f . òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÁÚ-
ÌÏÖÅÎÉÅ × ËÏÌØÃÅ VR,0 ÆÕÎËÃÉÉ f × ÒÑÄ ìÏÒÁÎÁ
                                 ∞
                                 X
                         f (z) =    cn (z − z0 )n .
                                n=−∞
÷ ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÒÁÚÌÉÞÁÀÔ ÔÒÉ ÔÉÐÁ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÈ ÏÓÏÂÙÈ
ÔÏÞÅË.
   1. åÓÌÉ × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ × ÒÑÄ ìÏÒÁÎÁ ÏÔÓÕÔÓÔ×ÕÅÔ ÇÌÁ×ÎÁÑ ÞÁÓÔØ, Ô.Å. ÞÌÅÎÙ
Ó ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÙÍÉ ÓÔÅÐÅÎÑÍÉ
                                   ∞
                                   X
                           f (z) =   cn (z − z0 )n ,
                                 n=0
ÔÏ ÔÏÞËÁ z = a ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÕÓÔÒÁÎÉÍÏÊ ÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ f .
   ðÒÉ ÐÏÄÈÏÄÅ Ë ÕÓÔÒÁÎÉÍÏÊ ÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÅ z = a ÆÕÎËÃÉÑ f ÉÍÅÅÔ ËÏÎÅÞÎÙÊ
ÐÒÅÄÅÌ, É ÅÓÌÉ ÅÇÏ ÐÒÉÎÑÔØ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ × ÔÏÞËÅ z = a, ÔÏ
f ÓÔÁÎÏ×ÉÔÓÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ × ÔÏÞËÅ z = a.
   2. åÓÌÉ × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ × ÒÑÄ ìÏÒÁÎÁ ÇÌÁ×ÎÁÑ ÞÁÓÔØ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ËÏÎÅÞÎÏÅ
ÞÉÓÌÏ ÞÌÅÎÏ×
                  −1
                  X                  ∞
                                     X
                                  n
          f (z) =     cn (z − z0 ) +   cn (z − z0 )n, m > 0, cm 6= 0,
                n=−m              n=0
ÔÏ ÔÏÞËÁ z = a ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÏÌÀÓÏÍ ÐÏÒÑÄËÁ m ÆÕÎËÃÉÉ f .

Страницы