Теория функций комплексного переменного. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§8. òÑÄÙ ìÏÒÁÎÁ. éÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ 63
éÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÏÓÏÂÁÑ ÔÏÞËÁ z = a ÆÕÎËÃÉÉ f Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÏÌÀÓÏÍ ÔÏÇÄÁ É
ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ
lim
z→a
f(z) = ∞.
ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ ϕ(z) ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ × ÔÏÞËÅ z = a. ôÏÞËÁ z = a ÎÁÚÙ×Á-
ÅÔÓÑ ÎÕÌÅÍ ÐÏÒÑÄËÁ k ÆÕÎËÃÉÉ ϕ(z), ÅÓÌÉ
ϕ(z
0
) = ϕ
0
(z
0
) = ... = ϕ
(k−1)
(z
0
) = 0, ϕ
(k)
(z
0
) 6= 0.
åÓÌÉ × ÔÏÞËÅ z
0
ÆÕÎËÃÉÑ ϕ(z) ÉÍÅÅÔ ÎÕÌØ ÐÏÒÑÄËÁ k, ÔÏ × ÅÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ ×
ÒÑÄ ôÅÊÌÏÒÁ ÂÕÄÕÔ ÏÔÓÕÔÓÔ×Ï×ÁÔØ ÐÅÒ×ÙÅ k ÞÌÅÎÏ×, Á ÉÍÅÎÎÏ:
ϕ(z) =
ϕ
(k)
(z
0
)
k!
(z − z
0
)
k
+
ϕ
(k+1)
(z
0
)
(k + 1)!
(z − z
0
)
k+1
+ ... =
= c
k
(z − z
0
)
k
+ c
k+1
(z − z
0
)
k+1
+ ... =
∞
X
n=k
c
n
(z − z
0
)
n
=
= (z − z
0
)
k
∞
X
n=k
c
n
(z − z
0
)
n−k
= (z − z
0
)
k
ψ(z),
ÇÄÅ ÆÕÎËÃÉÑ ψ(z) ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ × ÔÏÞËÅ z
0
É ψ(z
0
) 6= 0.
ôÏÞËÁ z = a Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÏÌÀÓÏÍ ÐÏÒÑÄËÁ m ÆÕÎËÃÉÉ f ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ
ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÆÕÎËÃÉÑ ϕ(z) =
1
f(z)
ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ × ÔÏÞËÅ z = a É ÔÏÞËÁ z = a
ÅÅ ÎÕÌØ ÐÏÒÑÄËÁ m.
3. åÓÌÉ × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ × ÒÑÄ ìÏÒÁÎÁ ÇÌÁ×ÎÁÑ ÞÁÓÔØ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ
ÞÉÓÌÏ ÞÌÅÎÏ×
f(z) =
∞
X
n=−∞
c
n
(z − z
0
)
n
,
ÔÏ ÔÏÞËÁ z = a ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ f .
äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÏÓÏÂÁÑ ÔÏÞËÁ z = a ÂÙÌÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ
ÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ f , ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ f ÎÅ ÉÍÅÌÁ ÐÒÅ-
ÄÅÌÁ ÐÒÉ z → a.
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ f (z), ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÕÀ ×ÎÅ ËÒÕÇÁ |z| >
R, ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ, ÂÙÔØ ÍÏÖÅÔ, ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ. ÷ÙÐÏÌÎÉÍ
ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ξ =
1
z
. ó×ÅÄÅÍ ÉÚÕÞÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ f (z) Ë ÉÚÕÞÅÎÉÀ ÆÕÎËÃÉÉ
ψ(ξ) = f (
1
ξ
) = f(z) × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ ξ = 0. ôÏÞËÁ z = ∞ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÕÓÔÒÁÎÉÍÏÊ ÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ f(z), ÅÓÌÉ ÔÏÞËÁ ξ = 0 ÂÕÄÅÔ ÕÓÔÒÁÎÉÍÏÊ
ÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ψ(ξ). ôÏÞËÁ z = ∞ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÏÌÀÓÏÍ ÐÏÒÑÄËÁ m
ÆÕÎËÃÉÉ f (z), ÅÓÌÉ ÔÏÞËÁ ξ = 0 ÂÕÄÅÔ ÐÏÌÀÓÏÍ ÐÏÒÑÄËÁ m ÆÕÎËÃÉÉ ψ(ξ).
ôÏÞËÁ z = ∞ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ f (z), ÅÓÌÉ
ÔÏÞËÁ ξ = 0 ÂÕÄÅÔ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ψ(ξ).
§8. òÑÄÙ ìÏÒÁÎÁ. éÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ                                              63

  éÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÏÓÏÂÁÑ ÔÏÞËÁ z = a ÆÕÎËÃÉÉ f Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÏÌÀÓÏÍ ÔÏÇÄÁ É
ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ
                            lim f (z) = ∞.
                                   z→a
   ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ ϕ(z) ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ × ÔÏÞËÅ z = a. ôÏÞËÁ z = a ÎÁÚÙ×Á-
ÅÔÓÑ ÎÕÌÅÍ ÐÏÒÑÄËÁ k ÆÕÎËÃÉÉ ϕ(z), ÅÓÌÉ
               ϕ(z0 ) = ϕ0(z0 ) = ... = ϕ(k−1)(z0 ) = 0, ϕ(k) (z0) 6= 0.
åÓÌÉ × ÔÏÞËÅ z0 ÆÕÎËÃÉÑ ϕ(z) ÉÍÅÅÔ ÎÕÌØ ÐÏÒÑÄËÁ k, ÔÏ × ÅÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ ×
ÒÑÄ ôÅÊÌÏÒÁ ÂÕÄÕÔ ÏÔÓÕÔÓÔ×Ï×ÁÔØ ÐÅÒ×ÙÅ k ÞÌÅÎÏ×, Á ÉÍÅÎÎÏ:
        ϕ(k) (z0)          k  ϕ(k+1)(z0 )
 ϕ(z) =           (z − z0 ) +             (z − z0 )k+1 + ... =
           k!                  (k + 1)!
                                                       X∞
                          k                k+1
           = ck (z − z0 ) + ck+1(z − z0 )      + ... =      cn (z − z0 )n =
                                                           n=k
                                                  ∞
                                                  X
                                   = (z − z0 )k         cn (z − z0 )n−k = (z − z0 )k ψ(z),
                                                  n=k
ÇÄÅ ÆÕÎËÃÉÑ ψ(z) ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ × ÔÏÞËÅ z0 É ψ(z0 ) 6= 0.
    ôÏÞËÁ z = a Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÏÌÀÓÏÍ ÐÏÒÑÄËÁ m ÆÕÎËÃÉÉ f ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ
                               1
ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÆÕÎËÃÉÑ ϕ(z) = f (z) ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ × ÔÏÞËÅ z = a É ÔÏÞËÁ z = a
ÅÅ ÎÕÌØ ÐÏÒÑÄËÁ m.
    3. åÓÌÉ × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ × ÒÑÄ ìÏÒÁÎÁ ÇÌÁ×ÎÁÑ ÞÁÓÔØ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ
ÞÉÓÌÏ ÞÌÅÎÏ×                       ∞
                                   X
                          f (z) =      cn (z − z0 )n ,
                                      n=−∞
ÔÏ ÔÏÞËÁ z = a ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ f .
   äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÏÓÏÂÁÑ ÔÏÞËÁ z = a ÂÙÌÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ
ÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ f , ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ f ÎÅ ÉÍÅÌÁ ÐÒÅ-
ÄÅÌÁ ÐÒÉ z → a.
   òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ f (z), ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÕÀ ×ÎÅ ËÒÕÇÁ |z| >
R, ÚÁ ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ, ÂÙÔØ ÍÏÖÅÔ, ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÏÊ ÔÏÞËÉ. ÷ÙÐÏÌÎÉÍ
                        1
ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ξ = . ó×ÅÄÅÍ ÉÚÕÞÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ f (z) Ë ÉÚÕÞÅÎÉÀ ÆÕÎËÃÉÉ
                        z
ψ(ξ) = f ( 1ξ ) = f (z) × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ ξ = 0. ôÏÞËÁ z = ∞ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÕÓÔÒÁÎÉÍÏÊ ÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ f (z), ÅÓÌÉ ÔÏÞËÁ ξ = 0 ÂÕÄÅÔ ÕÓÔÒÁÎÉÍÏÊ
ÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ψ(ξ). ôÏÞËÁ z = ∞ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÏÌÀÓÏÍ ÐÏÒÑÄËÁ m
ÆÕÎËÃÉÉ f (z), ÅÓÌÉ ÔÏÞËÁ ξ = 0 ÂÕÄÅÔ ÐÏÌÀÓÏÍ ÐÏÒÑÄËÁ m ÆÕÎËÃÉÉ ψ(ξ).
ôÏÞËÁ z = ∞ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ f (z), ÅÓÌÉ
ÔÏÞËÁ ξ = 0 ÂÕÄÅÔ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ψ(ξ).

Страницы