Теория функций комплексного переменного. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

64 §8. òÑÄÙ ìÏÒÁÎÁ. éÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ
ðÒÉÍÅÒ 7. îÁÊÔÉ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ ÆÕÎËÃÉÉ
f(z) =
sin z(z
2
+ 4)
z
É ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÉÈ ÔÉÐ.
òÅÛÅÎÉÅ: îÁÊÄÅÍ ÔÏÞËÉ, ÇÄÅ ÆÕÎËÃÉÑ f(z) ÎÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ. ôÁËÉÍÉ ÔÏÞ-
ËÁÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÞËÉ z = 0 É z = ∞.
éÓÓÌÅÄÕÅÍ ÐÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ z = 0. ôÁË ËÁË
lim
z→0
f(z) = lim
z→0
sin z(z
2
+ 4)
z
= lim
z→0
sin z
z
(z
2
+ 4) = 4,
ÔÏ ÔÏÞËÁ z = 0 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÓÔÒÁÎÉÍÏÊ ÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÏÊ.
éÓÓÌÅÄÕÅÍ ÐÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ z = ∞. ÷ÙÐÏÌÎÉ×
ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ z =
1
ξ
, ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ:
ψ(ξ) = f
1
ξ
= ξ sin
1
ξ
1
ξ
2
+ 4
!
=
1
ξ
sin
1
ξ
(1 + 4ξ
2
) =
1
ξ
sin
1
ξ
+ 4ξ sin
1
ξ
.
òÁÚÌÏÖÉÍ ÆÕÎËÃÉÀ sin
1
ξ
× ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ ξ = 0 × ÒÑÄ ìÏÒÁÎÁ
sin
1
ξ
=
∞
X
n=0
(−1)
n
1
ξ
2n+1
(2n + 1)!
=
1
ξ
−
(
1
ξ
)
3
3!
+
(
1
ξ
5
5!
−. . .+(−1)
n
1
ξ
2n+1
(2n + 1)!
+. . . , |ξ| > 0.
ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÐÏÌÕÞÉÍ
ψ(ξ) =
∞
X
n=0
(−1)
n
1
ξ
2n+2
(2n + 1)!
+
∞
X
n=0
(−1)
n
1
ξ
2n
(2n + 1)!
.
÷ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ ÒÑÄÁ ìÏÒÁÎÁ ÆÕÎËÃÉÉ ψ(ξ) × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ ξ = 0 ÇÌÁ×ÎÁÑ
ÞÁÓÔØ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÞÌÅÎÏ×, ÐÏÜÔÏÍÕ ÔÏÞËÁ ξ = 0 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ψ(ξ). á ÔÏÞËÁ z = ∞ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ
ÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ f (z).
ðÒÉÍÅÒ 8. îÁÊÔÉ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ ÆÕÎËÃÉÉ
f(z) =
1
(z + 2i)
2
(z − i)
É ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÉÈ ÔÉÐ.
òÅÛÅÎÉÅ: îÁÊÄÅÍ ÔÏÞËÉ, ÇÄÅ ÆÕÎËÃÉÑ f(z) ÎÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ. ôÁËÉÍÉ ÔÏÞ-
ËÁÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÞËÉ z = −2i É z = i .
éÓÓÌÅÄÕÅÍ ÐÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ z = −2i. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ
ÆÕÎËÃÉÀ
ϕ(z) =
1
f(z)
= (z + 2i)
2
(z − i) = (z + 2i)
2
ψ(z),
64                             §8. òÑÄÙ ìÏÒÁÎÁ. éÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ

     ðÒÉÍÅÒ 7. îÁÊÔÉ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ ÆÕÎËÃÉÉ
                                         sin z(z 2 + 4)
                                 f (z) =
                                               z
É ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÉÈ ÔÉÐ.
   òÅÛÅÎÉÅ: îÁÊÄÅÍ ÔÏÞËÉ, ÇÄÅ ÆÕÎËÃÉÑ f (z) ÎÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ. ôÁËÉÍÉ ÔÏÞ-
ËÁÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÞËÉ z = 0 É z = ∞.
   éÓÓÌÅÄÕÅÍ ÐÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ z = 0. ôÁË ËÁË
                             sin z(z 2 + 4)       sin z 2
               lim f (z) = lim              = lim      (z + 4) = 4,
             z→0         z→0       z          z→0 z
ÔÏ ÔÏÞËÁ z = 0 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÕÓÔÒÁÎÉÍÏÊ ÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÏÊ.
   éÓÓÌÅÄÕÅÍ ÐÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ z = ∞. ÷ÙÐÏÌÎÉ×
                     1
ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ z = , ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ:
                     ξ
                          2        !
           1           1     1              1    1            1     1 1
 ψ(ξ) = f      = ξ sin            + 4 = sin (1 + 4ξ 2) = sin + 4ξ sin .
           ξ           ξ     ξ              ξ    ξ            ξ     ξ ξ
òÁÚÌÏÖÉÍ ÆÕÎËÃÉÀ sin 1ξ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ ξ = 0 × ÒÑÄ ìÏÒÁÎÁ
       ∞              1           1 3    1                    1
   1 X         n   ξ 2n+1     1 ( ξ ) ( ξ5             n   ξ 2n+1
sin =     (−1)               = −      +    −. . .+(−1)               +. . . , |ξ| > 0.
   ξ  n=0
                 (2n  +  1)!  ξ   3!    5!               (2n  +  1)!
ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÐÏÌÕÞÉÍ
                       ∞                  1       ∞              1
                                       ξ 2n+2                  ξ 2n
                       X                          X
                ψ(ξ) =   (−1)n                  +   (−1)n               .
                         n=0
                                    (2n + 1)!    n=0
                                                            (2n + 1)!
÷ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ ÒÑÄÁ ìÏÒÁÎÁ ÆÕÎËÃÉÉ ψ(ξ) × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ ξ = 0 ÇÌÁ×ÎÁÑ
ÞÁÓÔØ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÞÌÅÎÏ×, ÐÏÜÔÏÍÕ ÔÏÞËÁ ξ = 0 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ψ(ξ). á ÔÏÞËÁ z = ∞ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ
ÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ f (z).
   ðÒÉÍÅÒ 8. îÁÊÔÉ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ ÆÕÎËÃÉÉ
                                          1
                           f (z) =
                                   (z + 2i)2(z − i)
É ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÉÈ ÔÉÐ.
   òÅÛÅÎÉÅ: îÁÊÄÅÍ ÔÏÞËÉ, ÇÄÅ ÆÕÎËÃÉÑ f (z) ÎÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ. ôÁËÉÍÉ ÔÏÞ-
ËÁÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÞËÉ z = −2i É z = i .
   éÓÓÌÅÄÕÅÍ ÐÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ z = −2i. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ
ÆÕÎËÃÉÀ
                       1
              ϕ(z) =        = (z + 2i)2(z − i) = (z + 2i)2ψ(z),
                     f (z)

Страницы