Теория функций комплексного переменного. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§8. òÑÄÙ ìÏÒÁÎÁ. éÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ 65
ÇÄÅ ψ(z) = (z − i), ψ(−2i) = −3i 6= 0. ïÔËÕÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ z = −2i ÎÕÌØ
×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÆÕÎËÃÉÉ ϕ(z), Á ÚÎÁÞÉÔ z = −2i ÐÏÌÀÓ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
ÆÕÎËÃÉÉ f (z).
éÓÓÌÅÄÕÅÍ ÐÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ z = i. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ
ÆÕÎËÃÉÀ
ϕ(z) =
1
f(z)
= (z + 2i)
2
(z −i) = (z − i)
2
ψ(z),
ÇÄÅ ψ(z) = (z + 2i)
2
, ψ(i) = −9 6= 0. ïÔËÕÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ z = i ÎÕÌØ ÐÅÒ×ÏÇÏ
ÐÏÒÑÄËÁ ÆÕÎËÃÉÉ ϕ(z), Á ÚÎÁÞÉÔ z = i ÐÏÌÀÓ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÆÕÎËÃÉÉ f(z).
ðÒÉÍÅÒ 9. îÁÊÔÉ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ ÆÕÎËÃÉÉ
f(z) = ze
1
z−1
É ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÉÈ ÔÉÐ.
òÅÛÅÎÉÅ: îÁÊÄÅÍ ÔÏÞËÉ, ÇÄÅ ÆÕÎËÃÉÑ f (z) ÎÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ. ôÁËÉÍÉ ÔÏÞ-
ËÁÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÞËÉ z = 1 É z = ∞ .
éÓÓÌÅÄÕÅÍ ÐÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ z = 1. òÁÚÌÏÖÉÍ
ÆÕÎËÃÉÀ ze
1
z−1
× ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ z = 1 × ÒÑÄ ìÏÒÁÎÁ (ÓÍ. ÐÒÉÍÅÒ 5),
ÐÏÌÕÞÉÍ:
f(z) = z + 1 +
∞
X
n=1
n + 2
(n + 1)!
1
(z −1)
n
, |z − 1| > 0.
éÚ ÜÔÏÇÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ z = 1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞ-
ËÏÊ.
éÓÓÌÅÄÕÅÍ ÐÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ z = ∞. ÷ÙÐÏÌÎÉ×
ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ z =
1
ξ
, ÐÏÌÕÞÉÍ :
ν(ξ) = f
1
ξ
=
1
ξ
e
1
1
ξ
−1
=
1
ξ
e
ξ
1−ξ
.
éÓÓÌÅÄÕÅÍ ÐÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ν(ξ) × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ ξ = 0. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ
ÆÕÎËÃÉÀ
ϕ(ξ) =
1
ν(ξ)
= ξ
1
e
ξ
1−ξ
= ξψ(ξ),
ÇÄÅ ψ(ξ) =
1
e
ξ
1−ξ
, ψ(0) = 1 6= 0. ïÔËÕÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ξ = 0 ÎÕÌØ ÐÅÒ×ÏÇÏ
ÐÏÒÑÄËÁ ÆÕÎËÃÉÉ ϕ(ξ), Á ÚÎÁÞÉÔ ξ = 0 ÐÏÌÀÓ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÆÕÎËÃÉÉ
ν(ξ). á ÔÏÞËÁ z = ∞ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÕÌÅÍ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÆÕÎËÃÉÉ f (z) = ze
1
z−1
.
ðÒÉÍÅÒ 10. ïÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÔÉÐ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÉ z = 0 ÆÕÎËÃÉÉ
f(z) =
sin 3z − 3 sin z
sin z(sin z − z)
.
§8. òÑÄÙ ìÏÒÁÎÁ. éÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ                              65

ÇÄÅ ψ(z) = (z − i), ψ(−2i) = −3i 6= 0. ïÔËÕÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ z = −2i ÎÕÌØ
×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÆÕÎËÃÉÉ ϕ(z), Á ÚÎÁÞÉÔ z = −2i ÐÏÌÀÓ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
ÆÕÎËÃÉÉ f (z).
   éÓÓÌÅÄÕÅÍ ÐÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ z = i. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ
ÆÕÎËÃÉÀ
                        1
               ϕ(z) =       = (z + 2i)2(z − i) = (z − i)2ψ(z),
                      f (z)
ÇÄÅ ψ(z) = (z + 2i)2, ψ(i) = −9 6= 0. ïÔËÕÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ z = i ÎÕÌØ ÐÅÒ×ÏÇÏ
ÐÏÒÑÄËÁ ÆÕÎËÃÉÉ ϕ(z), Á ÚÎÁÞÉÔ z = i ÐÏÌÀÓ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÆÕÎËÃÉÉ f (z).
   ðÒÉÍÅÒ 9. îÁÊÔÉ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ ÆÕÎËÃÉÉ
                                             1
                                f (z) = ze z−1
É ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÉÈ ÔÉÐ.
   òÅÛÅÎÉÅ: îÁÊÄÅÍ ÔÏÞËÉ, ÇÄÅ ÆÕÎËÃÉÑ f (z) ÎÅ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ. ôÁËÉÍÉ ÔÏÞ-
ËÁÍÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÞËÉ z = 1 É z = ∞ .
   éÓÓÌÅÄÕÅÍ ÐÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ z = 1. òÁÚÌÏÖÉÍ
            1
ÆÕÎËÃÉÀ ze z−1 × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ z = 1 × ÒÑÄ ìÏÒÁÎÁ (ÓÍ. ÐÒÉÍÅÒ 5),
ÐÏÌÕÞÉÍ:
                               ∞
                              X    n+2        1
              f (z) = z + 1 +                      n
                                                     , |z − 1| > 0.
                              n=1
                                  (n + 1)! (z − 1)
éÚ ÜÔÏÇÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ z = 1 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞ-
ËÏÊ.
   éÓÓÌÅÄÕÅÍ ÐÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ z = ∞. ÷ÙÐÏÌÎÉ×
ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ z = 1ξ , ÐÏÌÕÞÉÍ :
                                  
                                  1   1 1ξ 1−1  1 ξ
                        ν(ξ) = f     = e       = e 1−ξ .
                                  ξ   ξ         ξ
éÓÓÌÅÄÕÅÍ ÐÏ×ÅÄÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ν(ξ) × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ ξ = 0. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ
ÆÕÎËÃÉÀ
                              1        1
                     ϕ(ξ) =      = ξ ξ = ξψ(ξ),
                            ν(ξ)     e 1−ξ
ÇÄÅ ψ(ξ) = 1ξ , ψ(0) = 1 6= 0. ïÔËÕÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ξ = 0 ÎÕÌØ ÐÅÒ×ÏÇÏ
            e 1−ξ
ÐÏÒÑÄËÁ ÆÕÎËÃÉÉ ϕ(ξ), Á ÚÎÁÞÉÔ ξ = 0 ÐÏÌÀÓ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÆÕÎËÃÉÉ
                                                                        1
ν(ξ). á ÔÏÞËÁ z = ∞ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÕÌÅÍ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÆÕÎËÃÉÉ f (z) = ze z−1 .
   ðÒÉÍÅÒ 10. ïÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÔÉÐ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÉ z = 0 ÆÕÎËÃÉÉ
                                    sin 3z − 3 sin z
                          f (z) =                    .
                                    sin z(sin z − z)

Страницы