Теория функций комплексного переменного. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

66 §8. òÑÄÙ ìÏÒÁÎÁ. éÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ
òÅÛÅÎÉÅ: òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎËÃÉÀ
ϕ(z) =
1
f(z)
=
sin z(sin z − z)
sin 3z − 3 sin z
=
(z −
1
6
z
3
+ ...)(−
1
6
z
3
+ ...)
3z −
9
2
z
3
+ ... − 3z +
1
2
z
3
+ ...
=
=
−
1
6
z
4
+ ...
−4z
3
+ ...
=
z
4
(−
1
6
+ ...)
z
3
(−4 + ...)
= z
−
1
6
+ ...
(−4 + ...)
= zψ(z),
ÇÄÅ ψ(z) =
−
1
6
+...
(−4+...)
, ψ(0) =
1
24
6= 0. ïÔËÕÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ z = 0 ÎÕÌØ ÐÅÒ×ÏÇÏ
ÐÏÒÑÄËÁ ÆÕÎËÃÉÉ ϕ(z), Á ÚÎÁÞÉÔ z = 0 ÐÏÌÀÓ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÆÕÎËÃÉÉ f (z).
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ
îÁÊÔÉ ÏÂÌÁÓÔÉ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÒÑÄÏ×:
276)
∞
P
n=1
(
√
2 + i
√
2)
n
(z − i)
n
.
277)
∞
P
n=1
3
n
+ n
3
(z + 2i)
n
.
278)
∞
P
n=1
1
3n
2
+ 1
4 + 3i
z + 1
n
.
279)
∞
P
n=0
z
3
n
+
∞
P
n=1
2
z
n
.
280)
∞
P
n=0
z
2
n
+
∞
P
n=1
3
z
n
.
281)
∞
P
n=1
2
n
− n
2
(z + 2)
n
+
∞
P
n=0
(z + 2)
n
(n + i)
n
.
282)
∞
P
n=1
i sh n
(z − i)
n
+
∞
P
n=0
(z − i)
n
n
2
.
283)
∞
P
n=1
(z − 2i)
−n
n!
+
∞
P
n=0
(z − 2i)
n
n
2
+ 1
.
284)
∞
P
n=−∞
(z + 3i)
n
n
4
+ 3
.
285)
∞
P
n=1
z
−n
ch
i
n
+
∞
P
n=1
z
ln in
n
.
286)
∞
P
n=1
sh
n
(1 + i
πn
2
)
(z − i)
n
+
∞
P
n=1
sin in
7
n
n
2
(z − i)
n
.
287)
∞
P
n=1
(z − 2 − i)
−n
(2 + (−1)
n
)
n
.
66                              §8. òÑÄÙ ìÏÒÁÎÁ. éÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ

     òÅÛÅÎÉÅ: òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎËÃÉÀ

          1     sin z(sin z − z)     (z − 16 z 3 + ...)(− 61 z 3 + ...)
 ϕ(z) =       =                  =                                       =
        f (z)   sin 3z − 3 sin z   3z − 92 z 3 + ... − 3z + 12 z 3 + ...
                                 − 61 z 4 + ... z 4 (− 16 + ...)     − 61 + ...
                               =               =                 =z             = zψ(z),
                                 −4z 3 + ... z 3 (−4 + ...)         (−4 + ...)
               − 1 +...       1
ÇÄÅ ψ(z) = (−4+...)
             6
                    , ψ(0) = 24 6= 0. ïÔËÕÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ z = 0 ÎÕÌØ ÐÅÒ×ÏÇÏ
ÐÏÒÑÄËÁ ÆÕÎËÃÉÉ ϕ(z), Á ÚÎÁÞÉÔ z = 0 ÐÏÌÀÓ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÆÕÎËÃÉÉ f (z).

úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ

îÁÊÔÉ ÏÂÌÁÓÔÉ
            √ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ
                      √ n            ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÒÑÄÏ×:
       P∞ ( 2 + i 2)
  276)                         .
       n=1    (z − i)n
       P∞ 3n + n 3
  277)                n
                        .
       n=1 (z + 2i)               n
       P∞      1          4 + 3i
  278)        2
                                       .
       n=1 3n + 1          z+1
                              n
       P∞  z n       P∞       2
  279)             +                 .
       n=0 3          n=1  z 
        ∞  z n        ∞          n
       P               P        3
  280)             +                 .
       n=0 2          n=1 z
       P∞ 2n − n 2           P∞ (z + 2)n
  281)              n
                        +                  n
                                              .
       n=1 (z + 2)          n=0 (n + i)
       P∞   i sh n          P∞ (z − i)n
  282)             n
                       +                    .
       n=1 (z − i)          n=0     n2
       P∞ (z − 2i)−n            P∞ (z − 2i)n
  283)                      +          2
                                                  .
       n=1      n!             n=0 n + 1
        P∞ (z + 3i)n
  284)           4
                            .
       n=−∞ n + 3
        ∞           i        ∞  z n
            −n
       P                     P
  285)     z ch +                              .
       n=1         n n=1 ln in
        ∞ shn (1 + i πn )          ∞ sin in
                          2
                                                 (z − i)n.
       P                          P
  286)                  n
                               +         n    2
       n=1   (z − i)              n=1 7 n
       P∞ (z − 2 − i)       −n
  287)                    n n
                               .
       n=1 (2 + (−1) )

Страницы