Теория функций комплексного переменного. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§8. òÑÄÙ ìÏÒÁÎÁ. éÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ 61
× ÒÑÄ ìÏÒÁÎÁ 1) × ËÒÕÇÅ |z| < 1 , 2) × ËÏÌØÃÅ V
2,1
:= {z : 1 < |z| < 2}, 3) ×
ËÏÌØÃÅ V
∞,1
:= {z : 2 < |z| < ∞}.
òÅÛÅÎÉÅ: úÁÐÉÛÅÍ f(z) × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ ÐÒÏÓÔÙÈ ÄÒÏÂÅÊ
f(z) =
1
(z −1)(z −2)
= −
1
(z −1)
+
1
(z −2)
.
1) ôÁË ËÁË ÆÕÎËÃÉÑ f (z) ÁÎÁÌÉÔÉÞÎÁ × ËÒÕÇÅ |z| < 1, ÔÏ ÒÑÄ ìÏÒÁÎÁ
ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÒÑÄÏÍ ôÅÊÌÏÒÁ ÄÌÑ ÜÔÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ.
÷ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ
1
1 − z
=
∞
X
n=0
z
n
, |z| < 1.
ïÔËÕÄÁ ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ:
1
z − 2
= −
1
2
1
1 −
z
2
= −
1
2
∞
X
n=0
z
2
n
,
z
2
< 1.
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
f(z) =
1
(z − 1)(z −2)
=
∞
X
n=0
1 −
1
2
n+1
z
n
, |z| < 1.
2) äÌÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ × ËÒÕÇÅ |z| < 2 ÆÕÎËÃÉÉ
1
z−2
× ËÏÌØÃÅ
V
2,1
:= {z |1 < |z| < 2}
ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ × ÒÑÄ ôÅÊÌÏÒÁ
1
z − 2
= −
1
2
∞
X
n=0
z
2
n
, |z| < 2,
ÐÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÅ × ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÐÕÎËÔÅ. á ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ
1
1 − z
ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ
1
1 − z
= −
1
z
1
1 −
1
z
= −
1
z
∞
X
n=0
1
z
n
= −
∞
X
n=0
1
z
n+1
= −
∞
X
n=1
1
z
n
, |z| > 1.
ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ
f(z) =
1
(z −1)(z −2)
= −
∞
X
n=0
z
n
2
n+1
−
∞
X
n=1
1
z
n
, 1 < |z| < 2.
§8. òÑÄÙ ìÏÒÁÎÁ. éÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ                                  61

× ÒÑÄ ìÏÒÁÎÁ 1) × ËÒÕÇÅ |z| < 1 , 2) × ËÏÌØÃÅ V2,1 := {z : 1 < |z| < 2}, 3) ×
ËÏÌØÃÅ V∞,1 := {z : 2 < |z| < ∞}.
   òÅÛÅÎÉÅ: úÁÐÉÛÅÍ f (z) × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ ÐÒÏÓÔÙÈ ÄÒÏÂÅÊ
                                 1              1       1
                 f (z) =                  =−        +        .
                           (z − 1)(z − 2)    (z − 1) (z − 2)
   1) ôÁË ËÁË ÆÕÎËÃÉÑ f (z) ÁÎÁÌÉÔÉÞÎÁ × ËÒÕÇÅ |z| < 1, ÔÏ ÒÑÄ ìÏÒÁÎÁ
ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÒÑÄÏÍ ôÅÊÌÏÒÁ ÄÌÑ ÜÔÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ.
÷ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ
                                          ∞
                               1    X
                                  =     z n , |z| < 1.
                              1−z   n=0

ïÔËÕÄÁ ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ:
                                              ∞
                  1     1 1                 1 X  z n z
                     =−              z   =−           ,   < 1.
                 z−2    21−          2      2 n=0 2     2

ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
                                    ∞         
                          1         X        1
            f (z) =               =     1 − n+1 z n , |z| < 1.
                    (z − 1)(z − 2) n=0     2
                                                          1
  2) äÌÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ × ËÒÕÇÅ |z| < 2 ÆÕÎËÃÉÉ           z−2   × ËÏÌØÃÅ
                              V2,1 := {z |1 < |z| < 2}
ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ × ÒÑÄ ôÅÊÌÏÒÁ
                                          ∞
                            1     1 X  z n
                               =−            , |z| < 2,
                           z−2    2 n=0 2

                                                            1
ÐÒÉ×ÅÄÅÎÎÏÅ × ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÐÕÎËÔÅ. á ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ                 ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ
                                                           1−z
                                 ∞              ∞                 ∞
  1      1 1               1X 1          X 1           X 1
     = −           1   = −           = −           = −         , |z| > 1.
 1−z     z1−       z
                           z n=0 z n     n=0
                                             z n+1
                                                       n=1
                                                           z n


ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ
                                     ∞           ∞
                        1           X    zn     X    1
          f (z) =                =−       n+1
                                              −       n
                                                        , 1 < |z| < 2.
                  (z − 1)(z − 2)    n=0
                                        2       n=1
                                                    z

Страницы