Теория функций комплексного переменного. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§8. òÑÄÙ ìÏÒÁÎÁ. éÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ 57
÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ÒÑÄ ×ÉÄÁ
∞
X
n=−∞
c
n
(z − z
0
)
n
.
üÔÏÔ ÒÑÄ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÓÕÍÍÙ Ä×ÕÈ ÒÑÄÏ×
−1
X
n=−∞
c
n
(z − z
0
)
n
É
∞
X
n=0
c
n
(z − z
0
)
n
.
ïÎ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÓÈÏÄÑÔÓÑ ÏÂÁ ÜÔÉÈ ÒÑÄÁ. ëÁË ÂÙÌÏ
ÓËÁÚÁÎÏ ÒÁÎØÛÅ, ÏÂÌÁÓÔØÀ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÒÑÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÎÅÛÎÏÓÔØ
ËÒÕÇÁ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ z
0
É ÒÁÄÉÕÓÏÍ r. ïÂÌÁÓÔØÀ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ×ÔÏÒÏÇÏ
ÒÑÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÎÕÔÒÅÎÎÏÓÔØ ËÒÕÇÁ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ z
0
É ÒÁÄÉÕÓÏÍ R.
ïÂÌÁÓÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ
∞
P
n=−∞
c
n
(z − z
0
)
n
ÅÓÔØ:
1) ÐÕÓÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÅÓÌÉ r > R,
2) ËÏÌØÃÏ V
R,r
:= {z|r < |z − z
0
| < R} Ó ×ÏÚÍÏÖÎÙÍ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅÍ ÔÏÞÅË,
ÌÅÖÁÝÉÈ ÎÁ ÇÒÁÎÉÃÅ ÜÔÏÇÏ ËÏÌØÃÁ, ÅÓÌÉ r < R.
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÑÄ
∞
P
n=−∞
c
n
(z − z
0
)
n
ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ ÆÕÎËÃÉÀ
S(z) =
∞
X
n=−∞
c
n
(z − z
0
)
n
ÄÌÑ ×ÓÅÈ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÀ r < |z − z
0
| < R,
É, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ, ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÉÌÉ ×ÓÅÈ ÞÉÓÅÌ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÀ
|z − z
0
| = r, |z − z
0
| = R. æÕÎËÃÉÑ S(z) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ × ÏÂÌÁÓÔÉ
ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ r < |z −z
0
| < R.
ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ ÏÂÌÁÓÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ
∞
P
n=1
2
n
(z − 3i)
n
+
∞
P
n=1
(z − 3i)
n
5
n
n
5
.
òÅÛÅÎÉÅ: îÁÊÄÅÍ ÏÂÌÁÓÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ ÐÏ ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÙÍ ÓÔÅÐÅ-
ÎÑÍ (z − 3i), ×ÙÞÉÓÌÉ× ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ
r = lim
n→∞
n
p
|c
n
| = lim
n→∞
n
√
2
n
= 2.
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÑÄ
∞
P
n=1
2
n
(z − 3i)
n
ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÐÒÉ |z − 3i| > 2. îÁ
ÇÒÁÎÉÃÅ ËÒÕÇÁ |z − 3i| = 2 ÜÔÏÔ ÒÑÄ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ, ÔÁË ËÁË ÎÅ ×ÙÐÏÌÎÅÎ ÎÅÏÂ-
ÈÏÄÉÍÙÊ ÐÒÉÚÎÁË ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ
lim
n→∞
2
n
(z − 3i)
n
= 1 6= 0.
§8. òÑÄÙ ìÏÒÁÎÁ. éÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ                                    57

   ÷ ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ÒÑÄ ×ÉÄÁ
                                 ∞
                                 X
                                       cn (z − z0 )n.
                                n=−∞

üÔÏÔ ÒÑÄ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÓÕÍÍÙ Ä×ÕÈ ÒÑÄÏ×
                       −1
                       X                       ∞
                                               X
                                        n
                             cn (z − z0 ) É          cn (z − z0 )n .
                      n=−∞                     n=0

ïÎ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÓÈÏÄÑÔÓÑ ÏÂÁ ÜÔÉÈ ÒÑÄÁ. ëÁË ÂÙÌÏ
ÓËÁÚÁÎÏ ÒÁÎØÛÅ, ÏÂÌÁÓÔØÀ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÒÑÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÎÅÛÎÏÓÔØ
ËÒÕÇÁ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ z0 É ÒÁÄÉÕÓÏÍ r. ïÂÌÁÓÔØÀ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ×ÔÏÒÏÇÏ
ÒÑÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÎÕÔÒÅÎÎÏÓÔØ ËÒÕÇÁ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ z0 É ÒÁÄÉÕÓÏÍ R.
                             ∞
                                 cn (z − z0 )n ÅÓÔØ:
                             P
   ïÂÌÁÓÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ
                                n=−∞
    1) ÐÕÓÔÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï, ÅÓÌÉ r > R,
    2) ËÏÌØÃÏ VR,r := {z|r < |z − z0 | < R} Ó ×ÏÚÍÏÖÎÙÍ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅÍ ÔÏÞÅË,
       ÌÅÖÁÝÉÈ ÎÁ ÇÒÁÎÉÃÅ ÜÔÏÇÏ ËÏÌØÃÁ, ÅÓÌÉ r < R.
                          ∞
                              cn (z − z0 )n ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ ÆÕÎËÃÉÀ
                         P
   ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÑÄ
                         n=−∞
                                       ∞
                                       X
                             S(z) =           cn (z − z0 )n
                                      n=−∞

ÄÌÑ ×ÓÅÈ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÀ r < |z − z 0 | < R,
É, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ, ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÉÌÉ ×ÓÅÈ ÞÉÓÅÌ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÀ
|z − z0 | = r, |z − z0 | = R. æÕÎËÃÉÑ S(z) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ × ÏÂÌÁÓÔÉ
ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ r < |z − z0 | < R.
                                                    ∞
                                                    P     2n        P∞ (z − 3i)n
   ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ ÏÂÌÁÓÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ                      n
                                                                  +              .
                                                   n=1 (z − 3i)     n=1  5n n5
   òÅÛÅÎÉÅ: îÁÊÄÅÍ ÏÂÌÁÓÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ ÐÏ ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÙÍ ÓÔÅÐÅ-
ÎÑÍ (z − 3i), ×ÙÞÉÓÌÉ× ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ
                                   p            √n
                           r = lim n |cn | = lim 2n = 2.
                             n→∞               n→∞
                       ∞       n
                       P    2
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÑÄ                n
                                    ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÐÒÉ |z − 3i| > 2. îÁ
                     n=1 (z − 3i)
ÇÒÁÎÉÃÅ ËÒÕÇÁ |z − 3i| = 2 ÜÔÏÔ ÒÑÄ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ, ÔÁË ËÁË ÎÅ ×ÙÐÏÌÎÅÎ ÎÅÏÂ-
ÈÏÄÉÍÙÊ ÐÒÉÚÎÁË ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ
                                    2n
                              lim          = 1 6= 0.
                             n→∞ (z − 3i)n

Страницы