Теория функций комплексного переменного. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§8. òÑÄÙ ìÏÒÁÎÁ. éÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ 55
272) sin z ÐÏ ÓÔÅÐÅÎÑÍ
z +
π
3
.
273) cos(3z −1) ÐÏ ÓÔÅÐÅÎÑÍ (z + 1).
274)
1
7z + 3
ÐÏ ÓÔÅÐÅÎÑÍ (z + 2).
275)
1
z
2
+ 1
ÐÏ ÓÔÅÐÅÎÑÍ (z − 1).
§8. òÑÄÙ ìÏÒÁÎÁ. éÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ
8.1. ïÂÝÉÅ ÐÏÎÑÔÉÑ
óÒÅÄÉ ÒÑÄÏ×, ÏÔÌÉÞÎÙÈ ÏÔ ÓÔÅÐÅÎÎÙÈ, ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÂÌÉÚËÉÍ Ë ÓÔÅÐÅÎÎÏÍÕ Ñ×ÌÑ-
ÅÔÓÑ ÒÑÄ ×ÉÄÁ
∞
X
n=0
c
n
(z −z
0
)
n
= c
0
+
c
1
(z − z
0
)
+
c
2
(z − z
0
)
2
+ . . . +
c
n
(z −z
0
)
n
+ . . . ,
ÇÄÅ c
n
É z
0
ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, Á z ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÅ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÅ.
åÓÌÉ z
0
= 0, ÔÏ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÒÑÄ ×ÉÄÁ
∞
X
n=0
c
n
z
n
= c
0
+
c
1
z
+
c
2
z
2
+ . . . +
c
n
z
n
+ . . .
ïÂÌÁÓÔØÀ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ ×ÉÄÁ
∞
P
n=0
c
n
(z −z
0
)
n
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÎÅÛÎÏÓÔØ ËÒÕÇÁ
Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ z
0
É ÒÁÄÉÕÓÏÍ r Ó ×ÏÚÍÏÖÎÙÍ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅÍ ÔÏÞÅË, ÌÅÖÁÝÉÈ
ÎÁ ÇÒÁÎÉÃÅ ÜÔÏÇÏ ËÒÕÇÁ. òÁÄÉÕÓ ËÒÕÇÁ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÁÍ
r = lim
n→∞
n
p
|c
n
|
É
r = lim
n→∞
|c
n+1
|
|c
n
|
,
ÅÓÌÉ ÐÒÅÄÅÌÙ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ.
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÑÄ
∞
P
n=0
c
n
(z − z
0
)
n
ÐÒÉ |z − z
0
| > r ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ, Á
ÐÒÉ |z − z
0
| < r ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ ÎÁ ÏËÒÕÖ-
ÎÏÓÔÉ |z − z
0
| = r ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÐÕÓÔÙÍ, ÍÏÖÅÔ ÐÏÌÎÏÓÔØÀ ÓÏ×ÐÁÄÁÔØ Ó ÎÅÊ,
ÍÏÖÅÔ × ÏÄÎÉÈ ÔÏÞËÁÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÓÈÏÄÉÔØÓÑ, Á × ÄÒÕÇÉÈ ÒÁÓÈÏÄÉÔØÓÑ.
åÓÌÉ ÒÁÄÉÕÓ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ
∞
P
n=0
c
n
(z − z
0
)
n
ÞÉÓÌÏ r > 0 , ÔÏ ÏÂÌÁÓÔØÀ
ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÎÅÛÎÏÓÔØ ËÒÕÇÁ |z − z
0
| > r. åÓÌÉ r = ∞ , ÔÏ
ÏÂÌÁÓÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ×ÙÒÏÖÄÁÅÔÓÑ × ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÕÀ ÔÏÞËÕ. åÓÌÉ r =
§8. òÑÄÙ ìÏÒÁÎÁ. éÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ                                          55
                               π
   272) sin z ÐÏ ÓÔÅÐÅÎÑÍ z +      .
                                3
   273) cos(3z − 1) ÐÏ ÓÔÅÐÅÎÑÍ (z + 1).
           1
   274)         ÐÏ ÓÔÅÐÅÎÑÍ (z + 2).
        7z + 3
           1
   275) 2       ÐÏ ÓÔÅÐÅÎÑÍ (z − 1).
        z +1

    §8. òÑÄÙ ìÏÒÁÎÁ. éÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ
8.1. ïÂÝÉÅ ÐÏÎÑÔÉÑ

óÒÅÄÉ ÒÑÄÏ×, ÏÔÌÉÞÎÙÈ ÏÔ ÓÔÅÐÅÎÎÙÈ, ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÂÌÉÚËÉÍ Ë ÓÔÅÐÅÎÎÏÍÕ Ñ×ÌÑ-
ÅÔÓÑ ÒÑÄ ×ÉÄÁ
        ∞
       X      cn                   c1            c2                     cn
                      n
                        = c 0 +             +            2
                                                           + . . . +            n
                                                                                  + ...,
       n=0
           (z − z 0 )           (z −  z 0 )   (z − z 0 )             (z − z 0 )
ÇÄÅ cn É z0 ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, Á z ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÅ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÅ.
   åÓÌÉ z0 = 0, ÔÏ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÒÑÄ ×ÉÄÁ
                     ∞
                    X   cn          c1 c2             cn
                          n
                            = c 0 +   +   2
                                            + . . . +   n
                                                          + ...
                    n=0
                        z           z   z             z
                                          ∞
                                          P cn
    ïÂÌÁÓÔØÀ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ ×ÉÄÁ                  n
                                                     Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÎÅÛÎÏÓÔØ ËÒÕÇÁ
                                     n=0 (z − z0 )
Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ z0 É ÒÁÄÉÕÓÏÍ r Ó ×ÏÚÍÏÖÎÙÍ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅÍ ÔÏÞÅË, ÌÅÖÁÝÉÈ
ÎÁ ÇÒÁÎÉÃÅ ÜÔÏÇÏ ËÒÕÇÁ. òÁÄÉÕÓ ËÒÕÇÁ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÁÍ
                                        p
                               r = lim n |cn |
                                        n→∞
É
                                           |cn+1 |
                                   r = lim         ,
                                        n→∞ |cn |
ÅÓÌÉ ÐÒÅÄÅÌÙ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ.
                      ∞
                      P        cn
   ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÑÄ                 n
                                        ÐÒÉ |z − z0 | > r ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ, Á
                        n=0 (z − z0 )
ÐÒÉ |z − z0 | < r ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ ÎÁ ÏËÒÕÖ-
ÎÏÓÔÉ |z − z0 | = r ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÐÕÓÔÙÍ, ÍÏÖÅÔ ÐÏÌÎÏÓÔØÀ ÓÏ×ÐÁÄÁÔØ Ó ÎÅÊ,
ÍÏÖÅÔ × ÏÄÎÉÈ ÔÏÞËÁÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÓÈÏÄÉÔØÓÑ, Á × ÄÒÕÇÉÈ ÒÁÓÈÏÄÉÔØÓÑ.
                                      P∞     cn
   åÓÌÉ ÒÁÄÉÕÓ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ                      n
                                                      ÞÉÓÌÏ r > 0 , ÔÏ ÏÂÌÁÓÔØÀ
                                      n=0 (z − z0 )
ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÎÅÛÎÏÓÔØ ËÒÕÇÁ |z − z0 | > r. åÓÌÉ r = ∞ , ÔÏ
ÏÂÌÁÓÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ×ÙÒÏÖÄÁÅÔÓÑ × ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏ ÕÄÁÌÅÎÎÕÀ ÔÏÞËÕ. åÓÌÉ r =

Страницы