Теория функций комплексного переменного. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§9. ÷ÙÞÅÔÙ É ÉÈ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÑ 69
328) e
−z
2
, (z
0
= ∞).
329) sin
π
z
2
, (z
0
= 0).
330) z
2
cos
π
z
, (z
0
= 0).
331) cos
z
z + 1
, (z
0
= −1).
îÁÊÔÉ ×ÓÅ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÇÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÁ É ÏÐÒÅÄÅ-
ÌÉÔØ ÉÈ ÔÉÐ ÄÌÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÆÕÎËÃÉÊ:
332)
1
z
3
e
iz
.
333) tg
1
z
.
334)
z
2
cos z −1
.
335)
z
4
+ 1
z
4
− 1
.
336) z cos
1
z
− z.
§9. ÷ÙÞÅÔÙ É ÉÈ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÑ
9.1. ÷ÙÞÅÔ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÔÏÞËÉ
÷ÙÞÅÔÏÍ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ f ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÅÅ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÏÓÏÂÏÊ
ÔÏÞËÉ z = a ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ c
−1
ÐÒÉ ÐÅÒ×ÏÊ ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÏÊ ÓÔÅÐÅÎÉ
ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ f × ÒÑÄ ìÏÒÁÎÁ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÜÔÏÊ ÔÏÞËÉ.
ïÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ ×ÙÞÅÔÁ:
c
−1
= res
a
f(z).
ðÒÉÎÉÍÁÑ ×Ï ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÐÒÅÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÄÌÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× ÒÑÄÁ
ìÏÒÁÎÁ, ÉÍÅÅÍ
res
a
f(z) =
1
2πi
Z
•
f(z)dz,
ÇÄÅ • ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ z = a , • ⊂ O
a
(O
a
- ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÔÏÞËÉ,
ÇÄÅ ÆÕÎËÃÉÑ f ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ).
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÓÌÕÞÁÅ ËÏÇÄÁ z = a ÕÓÔÒÁÎÉÍÁÑ ÏÓÏÂÁÑ ÔÏÞËÁ, res
a
f(z) = 0.
åÓÌÉ z = a ÐÏÌÀÓ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÔÏ res
a
f(z) 6= 0. ÷ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ
res
a
f(z) ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁ×ÎÙÍ, Á ÍÏÖÅÔ É ÎÅ ÂÙÔØ ÒÁ×ÎÙÍ ÎÕÌÀ.
§9. ÷ÙÞÅÔÙ É ÉÈ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÑ                                               69
          2
  328) e−z , (z0 = ∞).
            π
  329) sin 2 , (z0 = 0).
           z
        2      π
  330) z cos , (z0 = 0).
                z
               z
  331) cos        , (z0 = −1).
           z+1
îÁÊÔÉ ×ÓÅ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÏÇÏ ÈÁÒÁËÔÅÒÁ É ÏÐÒÅÄÅ-
ÌÉÔØ ÉÈ ÔÉÐ ÄÌÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÆÕÎËÃÉÊ:
        1
  332) 3 eiz .
       z
          1
  333) tg .
          z
           z2
  334)            .
       cos z − 1
       z4 + 1
  335) 4        .
       z −1
              1
  336) z cos − z.
              z

    §9. ÷ÙÞÅÔÙ É ÉÈ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÑ
9.1. ÷ÙÞÅÔ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÔÏÞËÉ

÷ÙÞÅÔÏÍ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ f ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÅÅ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÏÓÏÂÏÊ
ÔÏÞËÉ z = a ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ c−1 ÐÒÉ ÐÅÒ×ÏÊ ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÏÊ ÓÔÅÐÅÎÉ
ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ f × ÒÑÄ ìÏÒÁÎÁ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÜÔÏÊ ÔÏÞËÉ.
   ïÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ ×ÙÞÅÔÁ:
                             c−1 = res f (z).
                                      a
ðÒÉÎÉÍÁÑ ×Ï ×ÎÉÍÁÎÉÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÅ ÐÒÅÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÄÌÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× ÒÑÄÁ
ìÏÒÁÎÁ, ÉÍÅÅÍ
                                    1
                                       Z
                       res f (z) =       f (z)dz,
                        a          2πi
                                          •

ÇÄÅ • ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ z = a , • ⊂ Oa (Oa - ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÔÏÞËÉ,
ÇÄÅ ÆÕÎËÃÉÑ f ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ).
   úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ × ÓÌÕÞÁÅ ËÏÇÄÁ z = a ÕÓÔÒÁÎÉÍÁÑ ÏÓÏÂÁÑ ÔÏÞËÁ, res f (z) = 0.
                                                                 a
åÓÌÉ z = a    ÐÏÌÀÓ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÔÏ res f (z) 6= 0. ÷ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ
                                              a
res f (z) ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁ×ÎÙÍ, Á ÍÏÖÅÔ É ÎÅ ÂÙÔØ ÒÁ×ÎÙÍ ÎÕÌÀ.
a

Страницы