Теория функций комплексного переменного. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§9. ÷ÙÞÅÔÙ É ÉÈ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÑ 71
òÅÛÅÎÉÅ: ÷ ÔÏÞËÅ z =
πk
2
ÄÁÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ÐÏÌÀÓ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ,
ÔÁË ËÁË
ctg 2z =
cos 2z
sin 2z
, cos πk 6= 0, sin πk = 0, (sin 2z)
0
|
z=
πk
2
= 2 cos 2z|
z=
πk
2
6= 0.
÷ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ×ÙÞÅÔÁ × ÓÌÕÞÁÅ ÐÏÌÀÓÁ ÐÅÒ×ÏÇÏ
ÐÏÒÑÄËÁ:
res
πk
2
ctg 2z =
cos 2z
sin 2z
z=
πk
2
=
cos 2z
2 cos 2z
z=
πk
2
=
1
2
.
÷ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÆÕÎËÃÉÑ f ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ ÆÏÒÍÕÌÏÊ f(z) =
ϕ(z)
ψ(z)
, ÆÕÎËÃÉÉ
ϕ(z) É ψ(z) ÉÍÅÅÀÔ × ÔÏÞËÅ z = a ÎÕÌÉ ÐÏÒÑÄËÁ ×ÙÛÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ, ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅ-
ÎÉÑ ×ÙÞÅÔÁ ÕÄÏÂÎÏ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÆÕÎËÃÉÉ ϕ(z) É ψ(z) ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÏÍ
ÞÌÅÎÏ× ÉÈ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ × ÒÑÄ ôÅÊÌÏÒÁ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ z = a.
ðÒÉÍÅÒ 4. îÁÊÔÉ res
0
sin 3z − 3 sin z
sin z(sin z − z)
.
òÅÛÅÎÉÅ: ëÁË ÐÏËÁÚÁÎÏ × ÐÒÉÍÅÒÅ 10 ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÐÁÒÁÇÒÁÆÁ, × ÔÏÞËÅ
z = 0 ÄÁÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ÐÏÌÀÓ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. ÷ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÐÒÅÄ-
ÓÔÁ×ÌÅÎÉÅÍ (ÓÍ. ÐÒÉÍÅÒ 10)
f(z) =
sin 3z − 3 sin z
sin z(sin z − z)
=
1
z
(−4 + ...)
−
1
6
+ ...
.
ïÔËÕÄÁ
res
0
f(z) = lim
z→0
zf (z) = lim
z→0
z
1
z
(−4 + ...)
−
1
6
+ ...
= 24.
ðÒÉÍÅÒ 5. îÁÊÔÉ res
0
z
2
+ z − 1
z
2
(z − 1)
.
òÅÛÅÎÉÅ: ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ × ÔÏÞËÅ z = 0 ÄÁÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ÐÏÌÀÓ
×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎËÃÉÀ
ϕ(z) =
1
f(z)
=
z
2
(z − 1)
z
2
+ z − 1
= z
2
z − 1
z
2
+ z − 1
= z
2
ψ(z),
ÇÄÅ ψ(z) =
z − 1
z
2
+ z − 1
, ψ(0) = 1 6= 0. ïÔËÕÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ z = 0 ÎÕÌØ ×ÔÏÒÏÇÏ
ÐÏÒÑÄËÁ ÆÕÎËÃÉÉ ϕ(z), Á ÚÎÁÞÉÔ z = 0 ÐÏÌÀÓ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÆÕÎËÃÉÉ f(z).
îÁÊÄÅÍ
res
0
f(z) = lim
z→0
d
dz
(z
2
f(z)) = lim
z→0
d
dz
z
2
+ z − 1
z
2
(z − 1)
= lim
z→0
z
2
− 2z
(z − 1)
2
= 0.
§9. ÷ÙÞÅÔÙ É ÉÈ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÑ                                                        71

  òÅÛÅÎÉÅ: ÷ ÔÏÞËÅ z = πk       2
                                   ÄÁÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ÐÏÌÀÓ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ,
ÔÁË ËÁË
           cos 2z
  ctg 2z =          , cos πk 6= 0, sin πk = 0, (sin 2z)0|z= πk = 2 cos 2z|z= πk 6= 0.
           sin 2z                                            2                2


÷ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ×ÙÞÅÔÁ × ÓÌÕÞÁÅ ÐÏÌÀÓÁ ÐÅÒ×ÏÇÏ
ÐÏÒÑÄËÁ:
                                                       
                                 cos 2z            cos 2z          1
                res ctg 2z =                  =                  = .
                 πk
                  2
                                 sin 2z z= πk     2 cos 2z z= πk   2
                                             2                  2

                                                          ϕ(z)
   ÷ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÆÕÎËÃÉÑ f ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ ÆÏÒÍÕÌÏÊ f (z) =       , ÆÕÎËÃÉÉ
                                                          ψ(z)
ϕ(z) É ψ(z) ÉÍÅÅÀÔ × ÔÏÞËÅ z = a ÎÕÌÉ ÐÏÒÑÄËÁ ×ÙÛÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ, ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅ-
ÎÉÑ ×ÙÞÅÔÁ ÕÄÏÂÎÏ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÆÕÎËÃÉÉ ϕ(z) É ψ(z) ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ËÏÌÉÞÅÓÔ×ÏÍ
ÞÌÅÎÏ× ÉÈ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ × ÒÑÄ ôÅÊÌÏÒÁ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ z = a.
                         sin 3z − 3 sin z
   ðÒÉÍÅÒ 4. îÁÊÔÉ res                    .
                       0 sin z(sin z − z)
   òÅÛÅÎÉÅ: ëÁË ÐÏËÁÚÁÎÏ × ÐÒÉÍÅÒÅ 10 ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÐÁÒÁÇÒÁÆÁ, × ÔÏÞËÅ
z = 0 ÄÁÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ÐÏÌÀÓ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. ÷ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÐÒÅÄ-
ÓÔÁ×ÌÅÎÉÅÍ (ÓÍ. ÐÒÉÍÅÒ 10)
                                 sin 3z − 3 sin z   1 (−4 + ...)
                       f (z) =                    =              .
                                 sin z(sin z − z) z − 16 + ...
ïÔËÕÄÁ
                                                   1 (−4 + ...)
                  res f (z) = lim zf (z) = lim z                = 24.
                   0             z→0         z→0   z − 61 + ...
                        z2 + z − 1
   ðÒÉÍÅÒ 5. îÁÊÔÉ res 2           .
                      0 z (z − 1)
   òÅÛÅÎÉÅ: ðÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ × ÔÏÞËÅ z = 0 ÄÁÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ÐÏÌÀÓ
×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎËÃÉÀ
                       1    z 2 (z − 1)        z−1
              ϕ(z) =      = 2           = z2 2     = z 2 ψ(z),
                     f (z) z + z − 1        z +z−1
               z−1
ÇÄÅ ψ(z) =             , ψ(0) = 1 6= 0. ïÔËÕÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ z = 0 ÎÕÌØ ×ÔÏÒÏÇÏ
            z2 + z − 1
ÐÏÒÑÄËÁ ÆÕÎËÃÉÉ ϕ(z), Á ÚÎÁÞÉÔ z = 0 ÐÏÌÀÓ ×ÔÏÒÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÆÕÎËÃÉÉ f (z).
îÁÊÄÅÍ
                                        d z2 + z − 1            z 2 − 2z
                                                       
                    d 2
    res f (z) = lim (z f (z)) = lim                       = lim          = 0.
      0         z→0 dz             z→0 dz   z 2 (z − 1)     z→0 (z − 1)2

Страницы