Теория функций комплексного переменного. - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

72 §9. ÷ÙÞÅÔÙ É ÉÈ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÑ
9.2. ÷ÙÞÅÔ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ
ðÕÓÔØ z = ∞ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÏÓÏÂÁÑ ÔÏÞËÁ ÆÕÎËÃÉÉ f.
÷ÙÞÅÔÏÍ ÆÕÎËÃÉÉ f ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÜÆÆÉÃÉ-
ÅÎÔ c
−1
ÐÒÉ ÐÅÒ×ÏÊ ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÏÊ ÓÔÅÐÅÎÉ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ f × ÒÑÄ
ìÏÒÁÎÁ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ, ÕÍÎÏÖÅÎÎÙÊ ÎÁ −1.
ïÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ ×ÙÞÅÔÁ:
res
∞
f(z) = −c
−1
=
1
2πi
Z
•
−
f(z)dz
ÇÄÅ • ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ z = 0 , • ⊂ O
∞
(ÆÕÎËÃÉÑ f ÁÎÁÌÉÔÉÞÅ-
ÓËÁÑ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ O
∞
= {z |r < |z| < ∞}).
ðÒÉÍÅÒ 6. îÁÊÔÉ res
∞
1
1 − z
.
òÅÛÅÎÉÅ: äÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ
1
1 − z
ÐÒÉ |z| > 1 ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ:
1
1 − z
= −
1
z
1
1 −
1
z
= −
1
z
∞
X
n=0
1
z
n
= −
∞
X
n=0
1
z
n+1
= −
∞
X
n=1
1
z
n
, |z| > 1.
ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ res
∞
1
1−z
= −c
−1
= 1.
óÕÍÍÁ ×ÙÞÅÔÏ× ÆÕÎËÃÉÉ f ×Ï ×ÓÅÈ ÅÅ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÏÓÏÂÙÈ ÔÏÞËÁÈ a
k
, k =
1, 2, ..., n É ×ÙÞÅÔÁ ÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ:
n
X
k=1
res
a
k
f(z) + res
∞
f(z) = 0.
ðÒÉÍÅÒ 7. îÁÊÔÉ res
∞
15z
3
− 11z
2
+ 4z + 6
2z
2
(z
2
− 1)
.
òÅÛÅÎÉÅ: ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÆÕÎËÃÉÀ f × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ ÐÒÏÓÔÙÈ ÄÒÏÂÅÊ:
f(z) =
2
z
−
3
z
2
+
4
z + 1
+
3
2(z − 1)
.
ïÓÏÂÙÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ ÆÕÎËÃÉÉ f Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÞËÉ
z
1
= 0, z
2
= −1, z
3
= 1, z
4
= ∞.
ðÏÓËÏÌØËÕ ÔÏÞËÉ z
1
, z
2
, z
3
ÐÏÌÀÓÙ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÔÏ
res
0
f(z) = 2, res
−1
f(z) = 4, res
1
f(z) =
3
2
.
óÏÇÌÁÓÎÏ ÆÏÒÍÕÌÅ
res
0
f(z) + res
−1
f(z) + res
1
f(z) + res
∞
f(z) = 0
72                                                 §9. ÷ÙÞÅÔÙ É ÉÈ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÑ

9.2. ÷ÙÞÅÔ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ

ðÕÓÔØ z = ∞ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÏÓÏÂÁÑ ÔÏÞËÁ ÆÕÎËÃÉÉ f .
   ÷ÙÞÅÔÏÍ ÆÕÎËÃÉÉ f ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÏÜÆÆÉÃÉ-
ÅÎÔ c−1 ÐÒÉ ÐÅÒ×ÏÊ ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÏÊ ÓÔÅÐÅÎÉ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ f × ÒÑÄ
ìÏÒÁÎÁ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ, ÕÍÎÏÖÅÎÎÙÊ ÎÁ −1.
   ïÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ ×ÙÞÅÔÁ:
                                        1
                                           Z
                    res f (z) = −c−1 =       f (z)dz
                     ∞                 2πi
                                                  •−

ÇÄÅ • ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ z = 0 , • ⊂ O∞ (ÆÕÎËÃÉÑ f ÁÎÁÌÉÔÉÞÅ-
ÓËÁÑ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ O∞ = {z |r < |z| < ∞}).
                             1
   ðÒÉÍÅÒ 6. îÁÊÔÉ res           .
                         ∞ 1−z
                                 1
   òÅÛÅÎÉÅ: äÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ               ÐÒÉ |z| > 1 ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ:
                               1−z
                                 ∞           ∞             ∞
         1      1 1           1X 1          X     1       X    1
            =−            = −           = −           = −         , |z| > 1.
       1−z      z 1 − z1      z n=0 z n     n=0
                                                z n+1
                                                          n=1
                                                              z n

                        1
ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ res 1−z     = −c−1 = 1.
                    ∞
    óÕÍÍÁ ×ÙÞÅÔÏ× ÆÕÎËÃÉÉ f ×Ï ×ÓÅÈ ÅÅ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÏÓÏÂÙÈ ÔÏÞËÁÈ a k , k =
1, 2, ..., n É ×ÙÞÅÔÁ ÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ ÒÁ×ÎÁ ÎÕÌÀ:
                            Xn
                               res f (z) + res f (z) = 0.
                                 ak           ∞
                           k=1

                       15z 3 − 11z 2 + 4z + 6
  ðÒÉÍÅÒ 7. îÁÊÔÉ res                          .
                    ∞        2z 2 (z 2 − 1)
  òÅÛÅÎÉÅ: ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÆÕÎËÃÉÀ f × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ ÐÒÏÓÔÙÈ ÄÒÏÂÅÊ:
                          2      3        4       3
                  f (z) = − 2 +              +         .
                          z z           z + 1 2(z − 1)
ïÓÏÂÙÍÉ ÔÏÞËÁÍÉ ÆÕÎËÃÉÉ f Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÞËÉ
                       z1 = 0, z2 = −1, z3 = 1, z4 = ∞.
ðÏÓËÏÌØËÕ ÔÏÞËÉ z1 , z2 , z3 ÐÏÌÀÓÙ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ, ÔÏ
                                                          3
                 res f (z) = 2, res f (z) = 4, res f (z) = .
                   0             −1             1         2
óÏÇÌÁÓÎÏ ÆÏÒÍÕÌÅ
                  res f (z) + res f (z) + res f (z) + res f (z) = 0
                   0          −1          1            ∞

Страницы