Теория функций комплексного переменного. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§9. ÷ÙÞÅÔÙ É ÉÈ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÑ 73
ÐÏÌÕÞÉÍ
res
∞
f(z) = −res
0
f(z) − res
−1
f(z) − res
1
f(z) = −7, 5.
9.3. ÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× Ó ÐÏÍÏÝØÀ ×ÙÞÅÔÏ×
åÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ f(z) ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ × ÏÂÌÁÓÔÉ D, ËÒÏÍÅ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÏÓÏ-
ÂÙÈ ÔÏÞÅË a
k
, k = 1, 2, . . . , n É ÁÎÁÌÉÔÉÞÎÁ ÎÁ ÇÒÁÎÉÃÅ • ÏÂÌÁÓÔÉ D, ÏÒÉÅÎ-
ÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÂÌÁÓÔÉ D, ÔÏÇÄÁ
Z
•
f(z)dz = 2πi
n
X
k=1
res
a
k
f(z).
ðÒÉÍÅÒ 8. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
R
•
1
z
2
+1
dz, ÇÄÅ ËÒÉ×ÁÑ • ÇÒÁÎÉÃÁ ÏÂÌÁ-
ÓÔÉ G : |z| < 2.
òÅÛÅÎÉÅ: æÕÎËÃÉÑ f (z) =
1
z
2
+1
ÉÍÅÅÔ Ä×Å ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ
z
1
= i, z
2
= −i ÐÏÌÀÓÙ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. ïÂÅ ÜÔÉ ÔÏÞËÉ ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ ×ÎÕÔÒÉ
ËÒÕÇÁ |z| 6 2. ðÏÓËÏÌØËÕ
res
i
f(z) = lim
z→i
(z − i)f (z) = lim
z→i
(z − i)
1
(z −i)(z + i)
= lim
z→i
1
z + i
=
1
2i
É ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ
res
−i
f(z) = lim
z→−i
(z + i)f(z) = lim
z→−i
(z + i)
1
(z −i)(z + i)
= lim
z→−i
1
z − i
= −
1
2i
,
ÔÏ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ
Z
•
f(z)dz = 2πi(res
i
f(z) + res
−i
f(z))
ÐÏÌÕÞÉÍ
R
•
1
z
2
+1
dz =
1
2i
−
1
2i
= 0.
ðÒÉÍÅÒ 9. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
R
•
ze
1
z−1
dz, ÇÄÅ ËÒÉ×ÁÑ • ÇÒÁÎÉÃÁ ÏÂÌÁ-
ÓÔÉ G : |z − 1| < 3.
òÅÛÅÎÉÅ: æÕÎËÃÉÑ f(z) = ze
1
z−1
ÉÍÅÅÔ ÏÄÎÕ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÕÀ ÏÓÏÂÕÀ
ÔÏÞËÕ z = 1 ×ÎÕÔÒÉ ËÒÕÇÁ G. ëÁË ÐÏËÁÚÁÎÏ × ÐÒÉÍÅÒÅ 5 ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÐÁ-
ÒÁÇÒÁÆÁ, ÆÕÎËÃÉÑ ze
1
z−1
× ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ z = 1 ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ × ÒÑÄ
ìÏÒÁÎÁ
ze
1
z−1
= z + 1 +
∞
X
n=1
n + 2
(n + 1)!
1
(z − 1)
n
, |z − 1| > 0.
§9. ÷ÙÞÅÔÙ É ÉÈ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÑ                                                                               73

ÐÏÌÕÞÉÍ
                   res f (z) = − res f (z) − res f (z) − res f (z) = −7, 5.
                    ∞                         0            −1                   1


9.3. ÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× Ó ÐÏÍÏÝØÀ ×ÙÞÅÔÏ×

åÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ f (z) ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ × ÏÂÌÁÓÔÉ D, ËÒÏÍÅ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÏÓÏ-
ÂÙÈ ÔÏÞÅË ak , k = 1, 2, . . . , n É ÁÎÁÌÉÔÉÞÎÁ ÎÁ ÇÒÁÎÉÃÅ • ÏÂÌÁÓÔÉ D, ÏÒÉÅÎ-
ÔÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÂÌÁÓÔÉ D, ÔÏÇÄÁ
                            Z                  n
                                               X
                                 f (z)dz = 2πi   res f (z).
                                                                          ak
                                         •                          k=1

                                                                      1
                                                           R
  ðÒÉÍÅÒ 8. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌ                                     z 2 +1 dz,   ÇÄÅ ËÒÉ×ÁÑ •   ÇÒÁÎÉÃÁ ÏÂÌÁ-
                                                           •
ÓÔÉ G : |z| < 2.
   òÅÛÅÎÉÅ: æÕÎËÃÉÑ f (z) = z 21+1 ÉÍÅÅÔ Ä×Å ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ
z1 = i, z2 = −i ÐÏÌÀÓÙ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ. ïÂÅ ÜÔÉ ÔÏÞËÉ ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ ×ÎÕÔÒÉ
ËÒÕÇÁ |z| 6 2. ðÏÓËÏÌØËÕ
                                                                            1              1    1
       res f (z) = lim(z − i)f (z) = lim(z − i)                                     = lim     =
        i             z→i                            z→i              (z − i)(z + i) z→i z + i 2i
É ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ
                                                                           1               1     1
  res f (z) = lim (z + i)f (z) = lim (z + i)                                       = lim       =− ,
  −i             z→−i                             z→−i               (z − i)(z + i) z→−i z − i   2i
ÔÏ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ
                                Z
                                     f (z)dz = 2πi(res f (z) + res f (z))
                                                               i                −i
                                •
                   1            1        1
            R
ÐÏÌÕÞÉÍ         z 2 +1
                       dz   =   2i
                                     −   2i
                                              = 0.
            •
                                                           R          1
  ðÒÉÍÅÒ 9. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌ                                     ze z−1 dz, ÇÄÅ ËÒÉ×ÁÑ •     ÇÒÁÎÉÃÁ ÏÂÌÁ-
                                                           •
ÓÔÉ G : |z − 1| < 3.
                                       1
   òÅÛÅÎÉÅ: æÕÎËÃÉÑ f (z) = ze z−1 ÉÍÅÅÔ ÏÄÎÕ ÉÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÕÀ ÏÓÏÂÕÀ
ÔÏÞËÕ z = 1 ×ÎÕÔÒÉ ËÒÕÇÁ G. ëÁË ÐÏËÁÚÁÎÏ × ÐÒÉÍÅÒÅ 5 ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÐÁ-
                       1
ÒÁÇÒÁÆÁ, ÆÕÎËÃÉÑ ze z−1 × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ z = 1 ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ × ÒÑÄ
ìÏÒÁÎÁ
                                ∞
                  1
                               X    n+2         1
              ze z−1 = z + 1 +                       n
                                                       , |z − 1| > 0.
                               n=1
                                   (n +  1)! (z − 1)

Страницы