Теория функций комплексного переменного. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

70 §9. ÷ÙÞÅÔÙ É ÉÈ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÑ
ðÕÓÔØ z = a ÐÏÌÀÓ ÆÕÎËÃÉÉ f ÐÏÒÑÄËÁ m. ÷ÙÞÅÔ ÆÕÎËÃÉÉ f × ÔÏÞËÅ
z = a ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÁÊÄÅÎ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ:
res
a
f(z) =
1
(m − 1)!
lim
z→a
d
m−1
dz
m−1
(f(z)(z − a)
m−1
).
äÌÑ ÐÏÌÀÓÁ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÐÏÌÕÞÉÍ
res
a
f(z) = lim
z→a
f(z)(z − a).
þÁÓÔÏ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÏÌÅÚÎÏÊ ÎÅÂÏÌØÛÁÑ ÍÏÄÉÆÉËÁÃÉÑ ÐÏÓÌÅÄÎÅÊ ÆÏÒÍÕÌÙ.
ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ f × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÐÏÌÀÓÁ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ z = a ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
f(z) =
ϕ(z)
ψ(z)
,
ÇÄÅ ϕ(z) É ψ(z) ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÉÅ × ÔÏÞËÅ z = a ÆÕÎËÃÉÉ, ÐÒÉÞÅÍ ϕ(a) 6=
0, ψ(a) = 0, ψ
0
(a) 6= 0, ÉÍÅÅÍ
res
a
f(z) =
ϕ(a)
ψ
0
(a)
.
ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ res
1
ze
1
z−1
.
òÅÛÅÎÉÅ: ÷ ÐÒÉÍÅÒÅ ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÐÁÒÁÇÒÁÆÁ ÍÙ ÎÁÛÌÉ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ
ÜÔÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ z = 1 × ÒÑÄ ìÏÒÁÎÁ, Á ÉÍÅÎÎÏ:
f(z) = z + 1 +
∞
X
n=1
n + 2
(n + 1)!
1
(z − 1)
n
, |z − 1| > 0.
éÚ ÜÔÏÇÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ c
1
=
3
2
, Ô.Å. res
1
ze
1
z−1
=
3
2
.
ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ res
0
cos z − 1
z
2
sin z
.
òÅÛÅÎÉÅ: ÷ ÔÏÞËÅ z = 0 ÄÁÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ÐÏÌÀÓ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ,
ÔÁË ËÁË
1
f(z)
=
z
2
sin z
cos z − 1
= −
z
2
cos
z
2
sin
z
2
= −z
z cos
z
2
sin
z
2
= zϕ(z),
ÇÄÅ
ϕ(z) = −
z cos
z
2
sin
z
2
É lim
z→0
ϕ(z) = −2.
ïÔÓÀÄÁ ÐÏÌÕÞÉÍ, ÞÔÏ
res
0
f(z) = lim
z→0
zf (z) = lim
z→0
1
ϕ(z)
= −
1
2
.
ðÒÉÍÅÒ 3. îÁÊÔÉ res
πk
2
ctg 2z, k ∈ Z .
70                                                            §9. ÷ÙÞÅÔÙ É ÉÈ ÐÒÉÍÅÎÅÎÉÑ

   ðÕÓÔØ z = a ÐÏÌÀÓ ÆÕÎËÃÉÉ f ÐÏÒÑÄËÁ m. ÷ÙÞÅÔ ÆÕÎËÃÉÉ f × ÔÏÞËÅ
z = a ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÎÁÊÄÅÎ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ:
                               1         dm−1
                res f (z) =          lim m−1 (f (z)(z − a)m−1).
                 a          (m − 1)! z→a dz
äÌÑ ÐÏÌÀÓÁ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ÐÏÌÕÞÉÍ
                             res f (z) = lim f (z)(z − a).
                              a                z→a
þÁÓÔÏ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÏÌÅÚÎÏÊ ÎÅÂÏÌØÛÁÑ ÍÏÄÉÆÉËÁÃÉÑ ÐÏÓÌÅÄÎÅÊ ÆÏÒÍÕÌÙ.
  ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ f × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÐÏÌÀÓÁ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ z = a ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
                                                     ϕ(z)
                                           f (z) =        ,
                                                     ψ(z)
ÇÄÅ ϕ(z) É ψ(z) ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÉÅ × ÔÏÞËÅ z = a ÆÕÎËÃÉÉ, ÐÒÉÞÅÍ ϕ(a) 6=
0, ψ(a) = 0, ψ 0 (a) 6= 0, ÉÍÅÅÍ
                                                      ϕ(a)
                                      res f (z) =             .
                                       a              ψ 0 (a)
                                  1
   ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ res ze z−1 .
                       1
   òÅÛÅÎÉÅ: ÷ ÐÒÉÍÅÒÅ ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÐÁÒÁÇÒÁÆÁ ÍÙ ÎÁÛÌÉ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ
ÜÔÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ z = 1 × ÒÑÄ ìÏÒÁÎÁ, Á ÉÍÅÎÎÏ:
                              ∞
                             X    n+2        1
             f (z) = z + 1 +                      n
                                                    , |z − 1| > 0.
                             n=1
                                 (n + 1)! (z − 1)
                                                                    1
éÚ ÜÔÏÇÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ c1 = 32 , Ô.Å. res ze z−1 = 23 .
                                                          1
                            cos z − 1
   ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ res 2                  .
                         0   z sin z
   òÅÛÅÎÉÅ: ÷ ÔÏÞËÅ z = 0 ÄÁÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ÐÏÌÀÓ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ,
ÔÁË ËÁË
               1      z 2 sin z          z 2 cos z2       z cos 2z
                  =               =−                 = −z          = zϕ(z),
             f (z) cos z − 1                sin z2          sin z2
ÇÄÅ
                                z cos z2
                    ϕ(z) = −                  É lim ϕ(z) = −2.
                                  sin z2            z→0

ïÔÓÀÄÁ ÐÏÌÕÞÉÍ, ÞÔÏ
                                                         1         1
                   res f (z) = lim zf (z) = lim               =− .
                    0            z→0                z→0 ϕ(z)       2
     ðÒÉÍÅÒ 3. îÁÊÔÉ res ctg 2z, k ∈ Z .
                        πk
                         2

Страницы