Теория функций комплексного переменного. - 76 стр.

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ïÔ×ÅÔÙ
2) 4 − i, 2 − 3i, 5 + i,
1
2
− i
5
2
. 3) 19 − 2i, 15, 33 − 19i, 7 + 3i.
4) 12 −i, −2 −5i, 41 −11i,
29
53
−i
31
53
. 5) 5 −8i, 3 −2i, −11 −17i,
19
10
+ i
7
10
.
6) 24. 7) 21 − 20i. 8) 8i. 9) 18 + 26i. 10)
13
61
+ i
21
61
.
11)
7
41
− i
19
41
. 12)
7
5
+ i
4
5
. 13) i
14
5
. 14)
44
318
− i
5
318
.
15) Re z =
1
2
, Im z =
1
2
. 16) Re z = 0, Im z = 1. 17) Re z = −1, Im z = 0.
18) Re z = −2, Im z =
3
2
. 19) |z| = 1, arg z =
π
2
. 20) |z| = 3, arg z = π.
21) |z| =
√
2, arg z = −
π
4
. 22) |z| = 3, arg z =
π
2
. 23) |z| =
√
2, arg z =
π
4
.
24) |z| = 2, arg z = −
π
6
. 25) |z| = 2, arg z = −
2π
3
. 26) |z| = 2, arg z = −
π
3
.
27) |z| =
√
2, arg z = −
π
2
. 28) |z| = 5, arg z = arctg
4
3
. 29) |z| =
5, arg z = arctg
4
3
− π. 30) |z| = 1, arg z =
2π
3
. 31) |z| = 1, arg z = −
π
2
.
32) |z| = 1, arg z =
6π
7
. 33) |z| = 125, arg z = −
π
2
. 34) |z| =
1
4
, arg z = 0.
35) |z| =
√
2 cos
π
14
, arg z =
π
14
. 47) ðÏÌÕÐÌÏÓËÏÓÔØ, ÒÁÓÐÏÌÏÖÅÎÎÁÑ
ÓÐÒÁ×Á ÏÔ ÍÎÉÍÏÊ ÏÓÉ (ÔÏÞËÉ ÏÓÉ ÎÅ ×ËÌÀÞÁÀÔÓÑ). 48) ðÏÌÕÐÌÏÓËÏÓÔØ,
ÒÁÓÐÏÌÏÖÅÎÎÁÑ ÎÉÖÅ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÏÊ ÐÒÑÍÏÊ, ÐÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ z = i
(ÔÏÞËÉ ÜÔÏÊ ÐÒÑÍÏÊ ÎÅ ×ËÌÀÞÁÀÔÓÑ). 49) ðÏÌÏÓÁ, ÓÏÓÔÏÑÝÁÑ ÉÚ ÔÏÞÅË,
ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ËÏÔÏÒÙÈ ÄÏ ÍÎÉÍÏÊ ÏÓÉ ÍÅÎØÛÅ ÅÄÉÎÉÃÙ. 50) ðÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉË
Ó ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ × ÔÏÞËÁÈ−i, 1−i, 1+i, i(ÓÔÏÒÏÎÙ ÎÅ ×ËÌÀÞÁÀÔÓÑ). 51) ëÒÕÇ
ÒÁÄÉÕÓÁ 1 Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ z = 0 (×ËÌÀÞÁÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ). 52) ÷ÓÑ
ÐÌÏÓËÏÓÔØ, ÉÚ ËÏÔÏÒÏÊ ÕÄÁÌÅÎ ËÒÕÇ ÒÁÄÉÕÓÁ 1 Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ z = i, ×ÍÅÓÔÅ
Ó ÅÇÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ. 53) ëÒÕÇ ÒÁÄÉÕÓÁ 2 Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ z = −i,
ËÏÔÏÒÁÑ ÕÄÁÌÅÎÁ (ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ËÒÕÇÁ ÎÅ ×ËÌÀÞÁÅÔÓÑ). 54) ëÏÌØÃÏ ÍÅÖÄÕ
ÏËÒÕÖÎÏÓÔÑÍÉ ÒÁÄÉÕÓÏ× 1 É 3 Ó ÏÂÝÉÍ ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ z = 1 (ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ
ÎÅ ×ËÌÀÞÁÀÔÓÑ). 55) õÇÏÌ ÒÁÓÔ×ÏÒÁ
π
4
Ó ×ÅÒÛÉÎÏÊ × ÔÏÞËÅ z = 0,
ÒÁÓÐÏÌÏÖÅÎÎÙÊ ×ÙÛÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÊ ÏÓÉ, Ñ×ÌÑÀÝÅÊÓÑ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÅÇÏ ÓÔÏÒÏÎ
(ÓÔÏÒÏÎÙ ÕÇÌÁ ÎÅ ×ËÌÀÞÁÀÔÓÑ). 56) õÇÏÌ ÒÁÓÔ×ÏÒÁ
π
2
Ó ×ÅÒÛÉÎÏÊ × ÔÏÞËÅ z =
0, ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÏÊ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÁÑ ÞÁÓÔØ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÊ ÏÓÉ
(ÓÔÏÒÏÎÙ ÕÇÌÁ ÎÅ ×ËÌÀÞÁÀÔÓÑ). 57) çÉÐÅÒÂÏÌÁ xy = 1. 58) çÉÐÅÒÂÏÌÁ
x
2
− y
2
= 1. 59) ïËÒÕÖÎÏÓÔØ x
2
+ (y + 1)
2
= 1. 60) ïËÒÕÖÎÏÓÔØ
(x −
1
2
)
2
+ y
2
=
1
4
. 61) çÉÐÅÒÂÏÌÁ 2(x
2
−y
2
) = 1. 62) ðÁÒÁÂÏÌÁ y
2
= 2x + 1.
63) z
1
= 1, z
2
= −
1
2
+ i
√
3
2
, z
3
= −
1
2
−i
√
3
2
. 64) z
1
= −i, z
2
=
√
3
2
+ i
1
2
, z
3
=
−
√
3
2
+i
1
2
. 65) z
1
= cos
π
8
−i sin
π
8
, z
2
= −cos
π
8
+i sin
π
8
, z
3
= sin
π
8
+i cos
π
8
, z
4
=
−sin
π
8
−i cos
π
8
. 66) z
1
= 1+i, z
2
= 1−i, z
3
= −1−i, z
4
= −1+i. 67) z
1
=
i
√
3, z
2
= −i
√
3, z
3
=
3
2
+ i
√
3
2
, z
4
= −
3
2
− i
√
3
2
, z
5
=
3
2
− i
√
3
2
, z
6
= −
3
2
+ i
√
3
2
.
76
                                       ïÔ×ÅÔÙ
       2) 4 − i, 2 − 3i, 5 + i, 21 − i 52 .              3) 19 − 2i, 15, 33 − 19i, 7 + 3i.
                                      29      31                                      19       7
4) 12 − i, −2 − 5i, 41 − 11i, 53 − i 53 . 5) 5 − 8i, 3 − 2i, −11 − 17i, 10                + i 10 .
                                                                                     13       21
6) 24.           7) 21 − 20i.              8) 8i.         9) 18 + 26i.         10) 61 + i 61 .
      7       19                    7       4                   14                 44         5
11) 41 − i 41 .                12) 5 + i 5 .             13) i 5 .          14) 318    − i 318   .
15) Re z = 12 , Im z = 12 . 16) Re z = 0, Im z = 1. 17) Re z = −1, Im z = 0.
18) Re z = −2, Im z = 23 .            19) |z| = 1, arg z = π2 .     20) |z| = 3, arg z = π.
             √                                                                √
21) |z| = 2, arg z = − 4 . 22) |z| = 3, arg z = 2 . 23) |z| = 2, arg z = π4 .
                                π                             π

24) |z| = 2, arg z = − π6 . 25) |z| = 2, arg z = − 2π         3 .  26) |z| = 2, arg z = − π3 .
             √
27) |z| = 2, arg z = − π2 .                 28) |z| = 5, arg z = arctg 34 .        29) |z| =
                      4                                    2π
5, arg z = arctg 3 − π.           30) |z| = 1, arg z = 3 .         31) |z| = 1, arg z = − π2 .
32) |z| = 1, arg z = 6π       . 33) |z| = 125, arg z = − π2 . 34) |z| = 14 , arg z = 0.
             √          π
                            7
                                       π
35) |z| = 2 cos 14        , arg z = 14   .           47) ðÏÌÕÐÌÏÓËÏÓÔØ, ÒÁÓÐÏÌÏÖÅÎÎÁÑ
ÓÐÒÁ×Á ÏÔ ÍÎÉÍÏÊ ÏÓÉ (ÔÏÞËÉ ÏÓÉ ÎÅ ×ËÌÀÞÁÀÔÓÑ).                       48) ðÏÌÕÐÌÏÓËÏÓÔØ,
ÒÁÓÐÏÌÏÖÅÎÎÁÑ ÎÉÖÅ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÏÊ ÐÒÑÍÏÊ, ÐÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ z = i
(ÔÏÞËÉ ÜÔÏÊ ÐÒÑÍÏÊ ÎÅ ×ËÌÀÞÁÀÔÓÑ).                      49) ðÏÌÏÓÁ, ÓÏÓÔÏÑÝÁÑ ÉÚ ÔÏÞÅË,
ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ËÏÔÏÒÙÈ ÄÏ ÍÎÉÍÏÊ ÏÓÉ ÍÅÎØÛÅ ÅÄÉÎÉÃÙ. 50) ðÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉË
Ó ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ × ÔÏÞËÁÈ−i, 1 − i, 1 + i, i(ÓÔÏÒÏÎÙ ÎÅ ×ËÌÀÞÁÀÔÓÑ). 51) ëÒÕÇ
ÒÁÄÉÕÓÁ 1 Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ z = 0 (×ËÌÀÞÁÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ).                              52) ÷ÓÑ
ÐÌÏÓËÏÓÔØ, ÉÚ ËÏÔÏÒÏÊ ÕÄÁÌÅÎ ËÒÕÇ ÒÁÄÉÕÓÁ 1 Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ z = i, ×ÍÅÓÔÅ
Ó ÅÇÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ.                 53) ëÒÕÇ ÒÁÄÉÕÓÁ 2 Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ z = −i,
ËÏÔÏÒÁÑ ÕÄÁÌÅÎÁ (ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ËÒÕÇÁ ÎÅ ×ËÌÀÞÁÅÔÓÑ).                       54) ëÏÌØÃÏ ÍÅÖÄÕ
ÏËÒÕÖÎÏÓÔÑÍÉ ÒÁÄÉÕÓÏ× 1 É 3 Ó ÏÂÝÉÍ ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ z = 1 (ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ
ÎÅ ×ËÌÀÞÁÀÔÓÑ).                   55) õÇÏÌ ÒÁÓÔ×ÏÒÁ π4 Ó ×ÅÒÛÉÎÏÊ × ÔÏÞËÅ z = 0,
ÒÁÓÐÏÌÏÖÅÎÎÙÊ ×ÙÛÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÊ ÏÓÉ, Ñ×ÌÑÀÝÅÊÓÑ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÅÇÏ ÓÔÏÒÏÎ
(ÓÔÏÒÏÎÙ ÕÇÌÁ ÎÅ ×ËÌÀÞÁÀÔÓÑ). 56) õÇÏÌ ÒÁÓÔ×ÏÒÁ π2 Ó ×ÅÒÛÉÎÏÊ × ÔÏÞËÅ z =
0, ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÏÊ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÔÒÉÃÁÔÅÌØÎÁÑ ÞÁÓÔØ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÊ ÏÓÉ
(ÓÔÏÒÏÎÙ ÕÇÌÁ ÎÅ ×ËÌÀÞÁÀÔÓÑ). 57) çÉÐÅÒÂÏÌÁ xy = 1. 58) çÉÐÅÒÂÏÌÁ
x2 − y 2 = 1.           59) ïËÒÕÖÎÏÓÔØ x2 + (y + 1)2 = 1.                 60) ïËÒÕÖÎÏÓÔØ
     1 2      2     1                            2
(x − 2 ) + y = 4 . 61) çÉÐÅÒÂÏÌÁ
                               √
                                              2(x −√
                                                     y ) = 1. 62) ðÁÒÁÂÏÌÁ√ y 2 = 2x + 1.
                                                      2

63)
  √ 1
     z = 1, z2 = − 12 + i 23 , z3 = − 21 − i 23 .         64) z1 = −i, z2 = 23 + i 21 , z3 =
− 23 +i 21 . 65) z1 = cos π8 −i sin π8 , z2 = − cos π8 +i sin π8 , z3 = sin π8 +i cos π8 , z4 =
− sin π8 − i cos π8 . 66) z1 = 1 +     i, z2 = 1 − i, z3√= −1 − i, z4 =    −1 + i. 67) z1√=
 √               √                  √                                   √
i 3, z2 = −i 3, z3 = 32 + i 23 , z4 = − 23 − i 23 , z5 = 23 − i 23 , z6 = − 23 + i 23 .
                                                 76

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