Теория множеств. - 10 стр.

                                         -9-                         Теория множеств


                             R = P o Q , что < x , y > ∈ R
тогда и только тогда, когда есть такой элемент z , что < x , z > ∈ P, < z , y > ∈ Q .
Диагональный график – график вида
                              ∆ м = {< x , x > , < y , y > , …}
для всех x , y , … ∈ М . График называется функциональным, если он не содержит пар
с одинаковыми первыми и различными вторыми компонентами.
      График называется инъективным , если он не содержит пар с одинаковыми
вторыми и различными первыми компонентами.
      Декартовым произведением множеств А и В называется множество
                             А × В = {< a , в >| а ∈ А, в ∈ В }.
      Декартово произведение множеств А1 , …, Аn
             А1 × А2 × …× Аn = { < a1 , a2 , …,an >| a1 ∈ А1 , a2 ∈ А2 , …, an ∈ Аn}.
Соответствием называется упорядоченная тройка множеств < P, X ,Y > такая, что
P ⊆ X × Y , где множество Х называется областью отправления, множество Y – областью
прибытия.

                               Свойства соответствий.

       1. Соответствие называется функциональным (функцией), если его график
функционален.
       2. Соответствие называется инъективным, если его график инъективен.
       3. Соответствие называется всюду определенным , если проекция его графика на
первую ось совпадает с областью отправления.
       4. Соответствие называется сюръективным , если проекция его графика на
вторую ось совпадает с областью прибытия.
       5. Соответствие называется биективным (взаимно-однозначным), если оно
функционально, инъективно, всюду определено и сюръективно.
       Отношением называется пара вида φ = < Ф, М > такая, что ϕ ⊆ М 2 , где Ф –
график, а М – то множество, между элементами которого существует данное отношение ϕ .
Отношение называется полным , если Ф = М2. Отношение называется отношением
равенства , если Ф = ∆М . Отношение называется отношением неравенства , если
Ф = М2 \ ∆М . Если < x , y > ∈ Ф из ϕ , то отношение между элементами записывается
x ϕ y.

                            Операции над отношениями.
      Пусть ϕ = < Ф, М >, r = < R , M > , то
                                 ϕIr = < ФIR , M > ,
                                ϕ U r = <Ф U R ,M > ,
                                 ϕ =< M 2 \ Ф , М > ,
                                 ϕ \ r =< Ф \ R , M > ,
                                  ϕ −1 =< Ф −1 , М > ,
                                 ϕ o r =< Ф o R , M > .


                           Основные свойства отношений.

      1. Рефлексивность. Для всех х справедливо х ϕ х, или ∆М ⊆ Ф.