Теория множеств. - 9 стр.

                                             -8-                            Теория множеств


ем следующий прием: уравнение не изменится, если левую часть его объединить с
пустым множеством типа ( Х I Ø ). Поэтому перепишем уравнение в виде
                                [ X I ( A U B)] U ( X I Ø ) = Ø.
      Запишем решение в виде         AU B ⊆ X ⊆U .

        12. Найти все подмножества множеств:
        12.1. {x | 2 ≤ x ≤ 4; x ∈ N }.
        Р е ш е н и е : {x | 2 ≤ x ≤ 4; x ∈ N } = {2,3,4} .
        Тогда все подмножества будут
                                   Ø, {2}, {3}, {4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {2,3,4},
                                 n
т.е. количество их рвано 2 , где n – количество элементов исходного множества.
        15. Доказать, что для произвольных множеств А, В, и С справедливы
утверждения:
        15.1. Если A ⊆ B и С ⊆ В , то А U С ⊆ В .
        Д о к а з а т е л ь с т в о : предположим обратное, что А U С ⊄ В . Возьмем такой
элемент х, что х ∈ А U С и х ∉ В . Поскольку х ∈ А U С , то х ∈ А или х ∈ С . Но
 A ⊆ B , а С ⊆ В , следовательно, в любом случае х ∈ В , что противоречит
предположению, значит, А U С ⊆ В .

      16. Разрешить относительно Х системы:
            ⎧ А I Х = Ø,
      16.1. ⎨
            ⎩ В I Х = Ø.
      Р е ш е н и е : решаем автономно каждое уравнение:
                                    ⎧⎪( A I X ) U ( X I Ø) = Ø,
                                     ⎨
                                     ⎪⎩(B I X ) U ( X I Ø) = Ø.
      Запишем ответы уравнений:
                                            Ø ⊆ X ⊆ A,
                                            B ⊆ C ⊆ U.
      Ответ, удовлетворяющий всей системе, запишется следующим образом:
                           Ø U B ⊆ X ⊆ X ⊆ A I U или B ⊆ X ⊆ A.


                     ГРАФИКИ, СООТВЕТСТВИЯ, ОТНОШЕНИЯ.

      Упорядоченная последовательность элементов вида < x1 , x2 , …, xn > называется
кортежем , а сами элементы – компонентами кортежа .
      Кортеж, состоящий из двух компонентов < x1 , x2 >, называется парой, < x1 , x2 , x3 > –
тройкой, < x1 , x2 , …, xn > – n-кой .
      Графиком называется множество пар. Пара < c , d > называется инверсией
пары < a , в >, если с = в и d = a . График P -1 называется инверсией графика Р, если
его элементы являются инверсией соответствующих пар графика Р.
      Если
               Р = {< a , в >, < c , d >},
      то
              P –1 = {< в , а >, < d , c >}.
Композицией графиков P и Q называется такой график