Теория множеств. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Рубрика: 

- 7 - Теория множеств
I
II
III
Получили выражение, которое не сводится прямо к виду =)()( XDXC IUI Ø
(''мешает'' выражение
))( BA I . Поэтому, воспользовавшись законом исключенного
третьего
)( UАА =U , пересечем скобку )( BA I с универсумом )( XX U (что не нару-
шает равенства):
=)]()[()()( XXBAXBBAX UIIUIUII Ø.
Преобразуем, применяя дистрибутивный закон:
=)()()()( XBAXBAXBBAX IIUIIUIUII Ø,
=))]()(([))](([ BABAXBABX IUIIUIUI Ø.
_
Запишем решение в виде
BXBABA ⊆⊆)()( IUI или BXB A ⊆⊆Δ .
Дальнейший содержательный анализ позволяет допустить три варианта:
1) В = Х = Ø (тривиальный вариант), а следовательно, и А = Ø, так как по
условию ХВ А ⊆Δ . Тогда решение будет Ø UХ ⊆⊆ ;
2) А = В = Ø, тогда А ∆ В = Ø и решение будет Ø
ВХ ⊆⊆ ;
3) АВ ⊆ , =ХВ I Ø (так как
ВХ ⊆ ) и тогда А ∆ В
≠
Ø, поскольку иначе (если
=ХВ I Ø и =ХА I Ø ) А ∆ В
⊄
Х. В этом случае допускаемое расположение
непустых множеств изображено на рис.11, где A – I и II, B – I, X – III.
Рис.11
11. Решить уравнение относительно Х:
11.1.
UВХАХ =)(\)( IU .
Р е ш е н и е :
1.
[ ]
=ΔU BXAX )(\)( IU Ø
2.
[ ]
[
]
=))(\)((\\))(\)(([ BXAXUUBXAX IUUIU Ø,
[
IIU ))(\)(( BXAXØ
]
U
[
]
=))()(( BXAXU IIUI Ø,
=)()( BXAX UIU Ø,
=)()( BXAX UUU Ø,
=)()( BXAX IUI Ø,
=)( BAX UI Ø.
Получили уравнение, в котором отсутствует выражение типа
)( ХС I . Применя- 
                                                   -7-                                 Теория множеств


       Получили выражение, которое не сводится прямо к виду (C I X ) U ( D I X ) = Ø
(''мешает'' выражение ( A I B) ) . Поэтому, воспользовавшись законом исключенного
третьего ( А U А = U ) , пересечем скобку ( A I B) с универсумом ( X U X ) (что не нару-
шает равенства):
                        ( X I A I B) U ( B I X ) U [( A I B) I ( X U X )] = Ø.
      Преобразуем, применяя дистрибутивный закон:
                     ( X I A I B) U ( B I X ) U ( A I B I X ) U ( A I B I X ) = Ø,
                         [ X I ( B U ( A I B))] U [ X I (( A I B) U ( A I B ))] = Ø.


                                                               _
      Запишем решение в виде ( A I B) U ( A I B) ⊆ X ⊆ B или A Δ B ⊆ X ⊆ B .
      Дальнейший содержательный анализ позволяет допустить три варианта:
      1) В = Х = Ø (тривиальный вариант), а следовательно, и А = Ø, так как по
условию А Δ В ⊆ Х . Тогда решение будет Ø ⊆ Х ⊆ U ;
      2) А = В = Ø, тогда А ∆ В = Ø и решение будет Ø ⊆ Х ⊆ В ;
      3) В ⊆ А , В I Х = Ø (так как Х ⊆ В ) и тогда А ∆ В ≠ Ø, поскольку иначе (если
В I Х = Ø и А I Х = Ø ) А ∆ В ⊄ Х. В этом случае допускаемое расположение
непустых множеств изображено на рис.11, где A – I и II, B – I, X – III.


              II
      III            I

            Рис.11

      11. Решить уравнение относительно Х:
      11.1. ( Х U А) \ ( Х I В ) = U .
      Решение:
             1. [ ( X U A) \ ( X I B) ] Δ U = Ø
              2.   [ (([ X U A) \ ( X I B)) \ U ] U [ U \ (( X U A) \ ( X I B)) ] = Ø,
                   [ (( X U A) \ ( X I B)) I Ø ] U [ U I (( X U A) I ( X I B)) ] = Ø,
                   ( X U A) I ( X U B) = Ø,
                   ( X U A) U ( X U B) = Ø,
                   ( X I A) U ( X I B) = Ø,
               X I ( A U B) = Ø.
      Получили уравнение, в котором отсутствует выражение типа (С I Х ) . Применя-

Страницы