Теория множеств. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Рубрика: 

- 5 - Теория множеств
Рис.3 Рис.4
4) множество Е ∆ F будет состоять из подмножеств, заштрихованных только в
одном (любом) направлении (рис.4).
6. Записать аналитически множество, представленное на диаграмме Эйлера-Венна
(рис.5).
Рис.5
6.1. Запишем множество, изображенное на рис.5:
1)
обозначим заштрихованные части как новые множества E и F;
2)
искомое множество G = E FU ;
3)
выразим множество Е через множества А, В и С С) \ )(( ВАЕ I
=
;
4)
выразим F через А, В, С А) \ )(( СВF I
=
;
5)
][
[
]
A \ )(C \ )( CBBAFEG IUIU
=
= .
Используя законы алгебры множеств, можно упростить это выражение:
[
)( BAG I
=
]
CI
U
[
II C(B
A
]
)( CBA II= =) ( CBA IIU
IB=
[
А( )СI
]
) ( СА IUIВ
=
С) (
Δ
А .
Конечное выражение можно было, разумеется, получить и сразу из исходной
диаграммы рис.5.
7. Доказать равенство множеств, используя принцип объемности:
7.1.
АВВА UU = .
Д о к а з а т е л ь с т в о: пусть ВАх
U
∈
, тогда Ах
∈
или Вх ∈ , значит,
АВх
U∈ . Следовательно, АВВА UU ⊆ . Аналогично, из факта АВх U
∈
следует ВАх
U∈ , т.е. ВААВ UU ⊆ .
7.7.
*
= А) \ (ВА I Ø. 
                                             -5-                               Теория множеств




               Рис.3                                              Рис.4

       4) множество Е ∆ F будет состоять из подмножеств, заштрихованных только в
одном (любом) направлении (рис.4).
       6. Записать аналитически множество, представленное на диаграмме Эйлера-Венна
(рис.5).




             Рис.5

      6.1. Запишем множество, изображенное на рис.5:
      1) обозначим заштрихованные части как новые множества E и F;
      2) искомое множество G = E U F ;
      3) выразим множество Е через множества А, В и С ( Е = ( А I В) \ С) ;
      4) выразим F через А, В, С ( F = ( В I С ) \ А) ;
      5) G = E U F = [ ( A I B) \ C ] U [( B I C ) \ A ] .
      Используя законы алгебры множеств, можно упростить это выражение:
                G = [ ( A I B) I C ] U [ (B I C I A ] = ( A I B I C ) U ( A I B I C ) =
                        = B I [ ( А I С ) U ( А I С ) ] = В I ( А Δ С) .
      Конечное выражение можно было, разумеется, получить и сразу из исходной
диаграммы рис.5.

      7. Доказать равенство множеств, используя принцип объемности:
      7.1. А U В = В U А .
      Д о к а з а т е л ь с т в о: пусть х ∈ А U В , тогда х ∈ А или х ∈ В , значит,
      х ∈ В U А . Следовательно, А U В ⊆ В U А . Аналогично, из факта х ∈ В U А
      следует х ∈ А U В , т.е. В U А ⊆ А U В .
          *
      7.7. А I (В \ А) = Ø.

Страницы