Теория множеств. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Рубрика: 

- 6 - Теория множеств
8. Доказать равенство множеств, преобразуя множества к одинаковому виду
помощью основных законов алгебры множеств.
8.1.
B)(A \ \ABA I= .
Д о к а з а т е л ь с т в о : преобразуем левую часть к виду правой части равенства.
Для этого выразим разность через операции пересечения и дополнения, тогда
)BA(AB)(A \ \ II=A .
По закону де Моргана
) ()( BAABAA UIII = .
Применяя закон двойного отрицания, преобразуем
)A(A) ( BBAA UIUI = .
Применяя дистрибутивный закон операции пересечения относительно объедине –
ния, получим
)() () ( BAAABAA IUIUI = .
По закону противоречия
= AA I Ø, следовательно =)() ( BAAA IUI Ø )( BA IU .
Используя закон, утверждающий, что объединение любого множества с пустым
дает само множество, получим ØBABA IIU
=
)( , т.е. левая часть выражения равна
правой, BABA II = , что требовалось доказать.
8.7.
*
)()()()( BABABABA UIUIUI = .
9. Доказать равенство множеств, преобразуя множества к одинаковому виду с
помощью основных законов алгебры множеств:
9.1.
СВ) АС В А UΔ=Δ (\)(.
Д о к а з а т е л ь с т в о : преобразуем левую часть к виду правой
________ ____________________ _____________________
=Δ С \ )В (А [ ) ()( ВАВА IUI ] \
=
С [ ) () ( ВАВА IUI ] СI =
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
= СВАВА UIUI ) ()([
ВАВА III ]
=
СU
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
)()( ВАВА UIU
=
СU
=
[ )()( ВАВА UIU ]
=
СU [ == CBABBАА UUIUUI )]([](
== CBBABBAAA UIUIUIUI )]()[()]()[(
CB) ()] \ () \ [()]()[( UUUUIUI Δ=== ACABBACABBA .
9.14.
*
CBACBA ) () (
Δ
Δ=
Δ
Δ (ассоциативный закон симметрической разности
множеств).
10. Решить уравнение относительно Х:
10.1.
BAX =U .
Р е ш е н и е : представим уравнение F
1
(X) = F
2
(X) в виде F
1
(X) ∆ F
2
(X) = Ø,
______
т.е. =Δ B AX )( U Ø.
Используя законы алгебры множеств, преобразуем выражение к виду
=)()( XDXC IUI Ø,
где C = F
3
(A,B), D = F
4
(A,B):
=Δ B AX )( U
Ø,
=))(\()\)(( AXBBAX UUU Ø,
BBAX ()( UII
=
))( AX UI Ø,
=)()()( BAXBBAX IUIUII
Ø. 
                                                  -6-                                 Теория множеств


     8. Доказать равенство множеств, преобразуя множества к одинаковому виду
помощью основных законов алгебры множеств.
     8.1. A \ (A \ B) = A I B .
     Д о к а з а т е л ь с т в о : преобразуем левую часть к виду правой части равенства.
Для этого выразим разность через операции пересечения и дополнения, тогда
A \ (A \ B) = A I (A I B) .
       По закону де Моргана A I ( A I B) = A I ( A U B ) .
      Применяя закон двойного отрицания, преобразуем A I ( A U B ) = A I (A U B) .
      Применяя дистрибутивный закон операции пересечения относительно объедине –
ния, получим A I ( A U B) = ( A I A ) U ( A I B) .
      По закону противоречия A I A = Ø, следовательно ( A I A ) U ( A I B) = Ø U ( A I B ) .
      Используя закон, утверждающий, что объединение любого множества с пустым
дает само множество, получим Ø U ( A I B) = A I B , т.е. левая часть выражения равна
правой, A I B = A I B , что требовалось доказать.
          *
      8.7. ( A I B) U ( A I B) = ( A U B) I ( A U B) .

     9. Доказать равенство множеств, преобразуя множества к одинаковому виду с
помощью основных законов алгебры множеств:
       9.1. ( А Δ В) \ С = ( А Δ В) U С .
       Д о к а з а т е л ь с т в о : преобразуем левую часть к виду правой
                    ________ ____________________ _____________________
                   ( А Δ В) \ С = [ ( А I В) U ( А I В) ] \ С = [ ( А I В ) U ( А I В) ] I С =
              ⎡                      ⎤
            = ⎢( А I В ) U ( А I В ) ⎥ U С = [ А I В I А I В ] U С = ⎡( А U В ) I ( А U В ) ⎤ U С =
              ⎣                      ⎦                                  ⎢⎣                  ⎥⎦
                    = [ ( А U В) I ( А U В ) ] U С = [ А I ( А U B]U = [ B I ( A U B)] U C =
                              = [( A I A) U ( A I B)] U [( B I A) U ( B I B)] U C =
                    = [( A I B) U ( B I A)] U C = [( A \ B) U ( B \ A)] U C = ( A Δ B) U C .

            *
     9.14. A Δ ( B Δ C ) = ( A Δ B) Δ C (ассоциативный закон симметрической разности
множеств).
     10. Решить уравнение относительно Х:
     10.1. X U A = B .
     Р е ш е н и е : представим уравнение F1 (X) = F2 (X) в виде F1 (X) ∆ F2 (X) = Ø,
           ______
     т.е. ( X U A) Δ B = Ø.
     Используя законы алгебры множеств, преобразуем выражение к виду
                                       (C I X ) U ( D I X ) = Ø,
     где     C = F3 (A,B),      D = F4 (A,B):
                                       ( X U A) Δ B = Ø,
                                  (( X U A) \ B) U ( B \ ( X U A)) = Ø,
                                  ( X I A I B) U ( B I ( X U A)) = Ø,
                                ( X I A I B ) U ( B I X ) U ( A I B) = Ø.

Страницы