Динамика твердого тела. Трухан Н.М. - 11 стр.

                                  11
центральные моменты инерции A, B, C. Построить главные
оси инерции тела для точки O с координатами
ξ O = a, η O = b, ζ O = O.
      Решение. В точке O построим систему координат
OXYZ с осями, параллельными главным центральным осям.
Так как точка O лежит в плоскости, содержащей две
главные центральные оси, то по выводу 4 из задачи 1.1 ось
OZ - главная для точки O. Значит нужно найти только две
главные оси.
        Пусть некоторая ось u лежит в плоскости OXY ,
проходит через точку O и образует с осью OX угол α .
Тогда направляющие косинусы оси u в системе OXYZ
будут равны соответственно cosα , sin α , 0. Момент инерции
тела относительно оси u приобретает вид
          J u = J x cos 2 α + J y sin 2 α − 2 J xy sin α cos α . (1.19)
Так как в данном случае
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = cos 2 α + sin 2 α = 1
независимо от значения угла α , то для отыскания
направления главной оси нет необходимости рассматривать
задачу на условный экстремум, и направление главной оси
можно найти из условия стационарности функции J u :
                              dJ u
                                   = 0.                         (1.20)
                              dα
Что дает
           − J x sin 2α + J y sin 2α − 2 J xy cos 2α = 0.
Откуда
                             1          2 J xy
                       α = arctg               .
                             2         Jy − Jx
Но из задачи 1.1 следует
J x = A + mb 2 , J y = B + ma 2 , J xy = mab.