Динамика твердого тела. Трухан Н.М. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

13
по направлению лишь в том случае, если ось вращения
совпадает с главной осью. При этом
ωλω
== JK
O
, где
λ
является коэффициентом пропорциональности. И, значит,
.0=
ω
−
λ
EJ Условие нетривиальности решения этого
уравнения:
.0det =−
ikik
J
λδ
J
Отсюда следует, что
собственные векторы матрицы
определяют направления
главных осей инерции, а собственные значения этой матрицы
– моменты инерции относительно главных осей.
m
∑
2
1
=
2.2. Кинетическая энергия
. Кинетическая энергия
.
2
1
2
1
2
1
22
22
ωω
ω
Oiiii
JhVmT ===
∑
(2.2)
Здесь
- момент инерции тела относительно
мгновенной оси вращения,
- расстояние i-й точки от этой
оси.
∑
=
O
mJ
ω
2
ii
h
J
O
ω
ω
M
J
i
h
По теореме Гюйгенса-Штейнера
(d - расстояние между мгновенной осью вращения и осью,
проходящей через центр масс параллельно мгновенной,
- момент инерции тела относительно последней).
Выражение кинетической энергии можно представить в
форме
2
mdJ
M
+=
ω
,
2
1
2
1
2
1
2
2
222
ωωω
ωω
MMM
JmVJmdT ++= (2.2)
где
- скорость центра масс тела. Формула (2.2)
представляет собой аналитическое выражение теоремы
Кенига для твердого тела. Обратим внимание, что
кинетическая энергия относительного движения
M
V
2
ω
ω
M
J
2
1
'
T = есть кинетическая энергия вращательного 
                                   13
по направлению лишь в том случае, если ось вращения
совпадает с главной осью. При этом K O = Jω = λω , где
λ является коэффициентом пропорциональности. И, значит,
 J − λE ω = 0. Условие нетривиальности решения этого
уравнения:     det J ik − λδ ik = 0.    Отсюда       следует,   что
собственные векторы матрицы J определяют направления
главных осей инерции, а собственные значения этой матрицы
– моменты инерции относительно главных осей.

         2.2. Кинетическая энергия.        Кинетическая энергия
                    1         1             1 ω
                      ∑ miVi = ∑ mi hi ω 2 = J O ω 2 . (2.2)
                            2         2
               T=
                    2         2             2
              ∑mh
          ω              2
Здесь J O =        i i       - момент инерции тела относительно
мгновенной оси вращения, hi - расстояние i-й точки от этой
оси.
                                                 ω       ω
        По теореме Гюйгенса-Штейнера J O = J M + md 2
(d - расстояние между мгновенной осью вращения и осью,
проходящей через центр масс параллельно мгновенной,
   ω
J M - момент инерции тела относительно последней).
Выражение кинетической энергии можно представить в
форме
              1          1 ω       1     1 ω
                md 2ω 2 + J M ω 2 = mVM + J M ω 2 , (2.2)
                                       2
         T=
              2          2         2     2
где VM - скорость центра масс тела. Формула (2.2)
представляет собой аналитическое выражение теоремы
Кенига для твердого тела. Обратим внимание, что
кинетическая    энергия   относительного  движения
       1 ω 2
T'=      J M ω есть кинетическая энергия вращательного
       2

Страницы