Динамика твердого тела. Трухан Н.М. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

18
(
)
η
MprCAqB
=
−
+
(3.4)
(
)
.
ζ
MqpABrC
=
−
+
Уравнения (3.4) совместно с уравнениями (3.1) описывают
движение тела с неподвижной точкой и записываются в
подвижных осях, жестко связанных с телом, главных для
неподвижной точки.
Общее решение системы (3.4) и (3.1) позволяет в
каждый момент найти значения углов Эйлера, однозначно
задающих положение тела с неподвижной точкой, т.е.
(
)
,,...,,
61
CCt
ψ
ψ
=
(
)
,,...,,
61
CCt
θ
θ
=
(3.5)
(
)
. ,...,,
61
CCt
ϕ
=
ϕ
Известно, что лишь в трех случаях при произвольных
начальных условиях интегрирование системы уравнений
Эйлера может быть доведено до квадратур. Это случаи
Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. Здесь будет рассмотрено
решение задач в случаях Эйлера и Лагранжа.
3.2. Случай Эйлера
. Этот случай соответствует
движению по инерции, когда
.0=
O
M
Тогда при произвольной форме тела сохраняется
вектор кинетического момента
O
K и кинетическая энергия
Интегрирование системы динамических уравнений
Эйлера может быть доведено до квадратур, которые
получаются в виде эллиптических интегралов. При
некоторых начальных условиях эти квадратуры
вырождаются в обыкновенные интегралы, и тогда
являются гиперболическими функциями времени.
.T
r
q
p
,,
Задача решена до конца, если найдена зависимость
эйлеровых углов от времени.
Так как
,const=
O
K возьмем неподвижную ось
вдоль вектора кинетического момента. Тогда
OZ
                             18
                      Bq + ( A − C ) pr = M η      (3.4)
                      Cr + (B − A)qp = M ζ .
Уравнения (3.4) совместно с уравнениями (3.1) описывают
движение тела с неподвижной точкой и записываются в
подвижных осях, жестко связанных с телом, главных для
неподвижной точки.
       Общее решение системы (3.4) и (3.1) позволяет в
каждый момент найти значения углов Эйлера, однозначно
задающих положение тела с неподвижной точкой, т.е.
                     ψ = ψ (t , C1 ,..., C6 ),
                     θ = θ (t , C1 ,..., C6 ),      (3.5)
                      ϕ = ϕ(t , C1 ,..., C6 ) .
       Известно, что лишь в трех случаях при произвольных
начальных условиях интегрирование системы уравнений
Эйлера может быть доведено до квадратур. Это случаи
Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. Здесь будет рассмотрено
решение задач в случаях Эйлера и Лагранжа.
       3.2. Случай Эйлера. Этот случай соответствует
движению по инерции, когда M O = 0.
       Тогда при произвольной форме тела сохраняется
вектор кинетического момента K O и кинетическая энергия
T . Интегрирование системы динамических уравнений
Эйлера может быть доведено до квадратур, которые
получаются в виде эллиптических интегралов. При
некоторых     начальных      условиях    эти  квадратуры
вырождаются в обыкновенные интегралы, и тогда p, q, r
являются гиперболическими функциями времени.
       Задача решена до конца, если найдена зависимость
эйлеровых углов от времени.
       Так как K O = const , возьмем неподвижную ось OZ
вдоль вектора кинетического момента. Тогда

Страницы