Динамика твердого тела. Трухан Н.М. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

20
Задача 3.1. Однородный эллипсоид с моментами
инерции
,A
,
2
3
A
движется вокруг своего неподвижно
закрепленного центра масс. В начальный момент эллипсоиду
сообщена угловая скорость
A2
,2 ki
ωω
+=Ω где kj ,i , -
единичные орты главных центральных осей инерции.
Получить уравнения движения эллипсоида в квадратурах.
Решение
. Динамические уравнения Эйлера в этом
случае
,02 =+ qr
dt
dp
,023 =− pr
dt
dq
(3.11)
.04 =+ qp
dt
dr
Умножив первое уравнение на
,
p
третье – на
r
и приравняв
затем левые части этих уравнений, получим
.
2
2
2
2
2
2
O
O
rr
pp
dt
dr
r
dt
dp
p
−=
−
→=
Так как
,2
OO
rp = то 2rp = в любой момент времени.
Разделив первое уравнение (3.11) на второе, получим
уравнение с разделяющимися переменными
. 3 4 dqqdpp
−
=
Откуда
(
)
, 34
4
1
2
2
2
qpp
O
−=
и, кроме того,
(
)
. 34
8
1
2
2
2
qp
O
−=r
Связь между
q
p
, и
r
можно было получить и
непосредственно, используя интеграл энергии и закон
сохранения кинетического момента: 
                                    20
         Задача 3.1. Однородный эллипсоид с моментами
              3
инерции A,      A, 2 A движется вокруг своего неподвижно
              2
закрепленного центра масс. В начальный момент эллипсоиду
сообщена угловая скорость Ω = ω 2i + ωk , где i , j , k -
единичные орты главных центральных осей инерции.
Получить уравнения движения эллипсоида в квадратурах.
       Решение. Динамические уравнения Эйлера в этом
случае
                      dp
                          + qr = 0,
                                2
                       dt
                      dq
                    3 − 2 pr = 0,                  (3.11)
                      dt
                      dr
                     4 + qp = 0.
                      dt
Умножив первое уравнение на p, третье – на r и приравняв
затем левые части этих уравнений, получим
                                                 2
               dp     dr    p 2 − pO           2
             p    = 2r →             = r 2 − rO .
               dt      dt       2
Так как pO = rO 2 , то p = r 2 в любой момент времени.
       Разделив первое уравнение (3.11) на второе, получим
уравнение с разделяющимися переменными
                        4 p dp = −3q dq.
Откуда           p2 =
                     1
                     4
                            (
                            2
                       4 pO − 3q 2 ,         )
                    1
                        ( 2
и, кроме того, r 2 = 4 pO − 3q 2 .
                    8
                                         )
       Связь между p, q и r можно было получить и
непосредственно, используя интеграл энергии и закон
сохранения кинетического момента:

Страницы