Динамика твердого тела. Трухан Н.М. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

22
Анализ зависимости углов Эйлера от времени показывает,
что углы Эйлера
,
22
ch
1
3
2
arccos
=
t
θ
,
22
sh 3
1
arctg
t
=ϕ
и (см. (3.13) не являются периодическими функциями.
ψ
3.3. Случай Лагранжа
. Это случай движения
симметричного тела в поле тяжести, когда центр масс лежит
на оси симметрии, не совпадая с неподвижной точкой.
При движении симметричного твердого тела с одной
неподвижной точкой в случае Лагранжа интегрирование
системы уравнений движения может быть доведено до
квадратур. Однако качественное исследование этого
движения может быть проведено с помощью интегралов
движения. Так как движение реализуется в поле тяжести, то
имеет место интеграл энергии
()
,cos
2
1
2
1
222
O
hplCrqpA =+++
θ
(3.14)
где
- расстояние центра тяжести от неподвижной точки.
Поскольку
то
l
,0=
z
M
.const==
ψ
ψ
Oz
KK (3.15)
Третий интеграл получается из последнего уравения (3.4):
.const 0
=
→
=
rrC
(3.16)
Через углы Эйлера и их производные эти первые интегралы
могут быть представлены в виде
(
)
,constcos2sin
222
==++ hplA
θθθψ
                                  22
Анализ зависимости углов Эйлера от времени показывает,
что углы Эйлера
                                            
                              2      1      
                  θ = arccos                ,
                               3        t   
                                   ch
                                    2 2 
                                   1
                    ϕ = arctg              ,
                                       t
                                3 sh
                                     2 2
и ψ (см. (3.13) не являются периодическими функциями.
        3.3. Случай Лагранжа. Это случай движения
симметричного тела в поле тяжести, когда центр масс лежит
на оси симметрии, не совпадая с неподвижной точкой.
        При движении симметричного твердого тела с одной
неподвижной точкой в случае Лагранжа интегрирование
системы уравнений движения может быть доведено до
квадратур. Однако качественное исследование этого
движения может быть проведено с помощью интегралов
движения. Так как движение реализуется в поле тяжести, то
имеет место интеграл энергии
          1
          2
              (        ) 1
            A p 2 + q 2 + Cr 2 + pl cosθ = hO ,
                         2
                                                         (3.14)

где l - расстояние центра тяжести от неподвижной точки.
Поскольку M z = 0, то
                                          ψ
                               K z = KO      = const.    (3.15)
                                          ψ
Третий интеграл получается из последнего уравения (3.4):
                        Cr = 0 → r = const.          (3.16)
Через углы Эйлера и их производные эти первые интегралы
могут быть представлены в виде
          (                )
        A ψ 2 sin 2 θ + θ 2 + 2 pl cosθ = h = const,

Страницы