Динамика твердого тела. Трухан Н.М. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

23
,constcossin
2
==+
z
KCrA
θθψ
(3.17)
(
)
. .constcos
2
Crhhr
O
−===ϕ+
θψ
Интегралы движения (3.15) и (3.16) легко получаются и с
помощью функции Лагранжа
()
()
()
.coscos
2
sin
2
2
1
2
222
222
θθψ
θψθ
mgl
C
A
CrBqApL
−+ϕ+
++=
=Π−++=
(3.18)
В самом деле, так как координаты
ψ
и
ϕ
циклические, то
,0=
∂
∂
ψ
L
0=
ϕ
L
∂
∂
и
,0=
∂
∂
ψ
L
dt
d
,
ϕ∂
∂
L
0=
dt
d
откуда
вытекают законы сохранения
()
,constcoscossin
2
=+ϕ+=
∂
∂
θθψθψ
ψ
CA
L
()
.constcos ==+ϕ=
ϕ∂
∂
CrC
L
θψ
Задача 3.2
. Тонкий однородный диск
веса
P
и радиуса
R
насажен жестко
на невесомый стержень длины
,Rl =
2
3
один конец которого
шарнирно закреплен. В начальный
момент диску сообщают собственное
вращение с угловой скоростью
R
g
4=ϕ
и отпускают ось без
толчка. Найти минимальное и максимальное значения угла
θ
R
Рис. 3.2 
                                         23
                    Aψ sin θ + Cr cosθ = K z = const,
                            2
                                                           (3.17)
                                                          (
                    ψ cosθ + ϕ = r = const. h = hO − Cr .
                                                         2
                                                                       )
Интегралы движения (3.15) и (3.16) легко получаются и с
помощью функции Лагранжа
           L=
                1
                2
                    (
                  Ap 2 + Bq 2 + Cr 2 − Π =       )
          =
           A 2
           2
                (
             θ + ψ 2 sin 2 θ +          )                                 (3.18)

           C
          + (ϕ + ψ cosθ ) − mgl cosθ .
                           2

           2
В самом деле, так как координаты ψ и ϕ циклические, то
∂L         ∂L      d  ∂L                               d  ∂L 
   = 0,       =0 и            = 0,                           = 0, откуда
∂ψ         ∂ϕ      dt  ∂ψ                           dt  ∂ϕ 
вытекают законы сохранения
∂L
    = Aψ sin 2 θ + C (ϕ + ψ cosθ )cosθ = const,
∂ψ
∂L
    = C (ϕ + ψ cosθ ) = Cr = const.
∂ϕ
                            Задача 3.2. Тонкий однородный диск
                            веса P и радиуса R насажен жестко
                        R   на невесомый стержень длины
                                      3
                                l=      R,           один     конец   которого
     θ                               2
                            шарнирно закреплен. В начальный
                            момент диску сообщают собственное
                            вращение с угловой скоростью
     Рис. 3.2                                g
                                ϕ = 4               и   отпускают    ось    без
                                             R
толчка. Найти минимальное и максимальное значения угла

Страницы