Динамика твердого тела. Трухан Н.М. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

37
()
.constcos =+ϕ=
ϕ∂
∂
θψ
C
L
(5.9)
Уравнение Лагранжа для координаты
:
θ
()
.sin
2
2sin
sin
2
θ
θ
ψθψθ
mglACCA =−+ϕ+
В силу равенства (5.4) имеем
откуда Но
по предположению
и поэтому
,0=
θ
.
O
t
θ
+
θθ
=
0=
O
θ
.
O
θ
θ
=
Из (5.8) и (5.9) следует, что тогда
и
т.е. движение – регулярная прецессия.
const
=
ψ
,const=ϕ
При решении задач в данном случае используют
также формулу гироскопии и теорему о движении центра
масс.
Задача 5.3
. Симметричный волчок
(
)
CBA
≠
=
массы
в начальный момент получил угловую скорость
собственного вращения
m
,
ω
причем его ось симметрии в этот
момент образовывала с вертикалью угол
Какой должна
быть начальная угловая скорость прецессии
,
ψ
чтобы
движение волчка являлось регулярной прецессией, если
расстояние центра масс от
неподвижной точки опоры
равно
? Определить при
регулярной прецессии
реакцию опоры. Показать,
что при
l
ψ
ω
>>
угловая
скорость прецессии не
зависит от угла нутации.
.
O
θ
Решение
. Угловую
скорость прецессии находим
из формулы гироскопии (5.4), которая в данном случае имеет
вид
ζ
l
M
Z
O
Рис. 5.6 
                               37
              ∂L
                  = C (ϕ + ψ cosθ ) = const.              (5.9)
              ∂ϕ
Уравнение Лагранжа для координаты θ :
                                   sin 2θ
Aθ + Cψ ϕ sin θ + (C − A)ψ 2         = mgl sin θ .
                                      2
В силу равенства (5.4) имеем θ = 0, откуда θ = θ t + θ O . Но
по предположению θ = 0 и поэтому θ = θ .
                      O                      O

        Из (5.8) и (5.9) следует, что тогда ψ = const и
ϕ = const, т.е. движение – регулярная прецессия.
        При решении задач в данном случае используют
также формулу гироскопии и теорему о движении центра
масс.
        Задача 5.3. Симметричный волчок ( A = B ≠ C )
массы m в начальный момент получил угловую скорость
собственного вращения ω , причем его ось симметрии в этот
момент образовывала с вертикалью угол θ O . Какой должна
быть начальная угловая скорость прецессии ψ , чтобы
движение волчка являлось регулярной прецессией, если
                               расстояние центра масс от
   Z                   ζ       неподвижной точки опоры
                               равно l ? Определить при
             M                регулярной          прецессии
      θ                       реакцию    опоры.    Показать,
             l                что при ω >> ψ угловая
                                                
   O                          скорость     прецессии     не
                              зависит от угла нутации.
         Рис. 5.6                     Решение.     Угловую
                              скорость прецессии находим
из формулы гироскопии (5.4), которая в данном случае имеет
вид

Страницы