Динамика твердого тела. Трухан Н.М. - 7 стр.

                                         7
φ (cosα , cos β , cos γ ) =
                                                            (1.7)
= J u (cosα , cos β , cos γ ) − λf (cosα , cos β , cos γ ),
где λ - неопределенный множитель (метод Лагранжа).
       Условие стационарности функции
φ (cosα , cos β , cos γ ) дает
                              ∂φ ∂J u
                                  =
                             ∂χ i ∂χ i
                                         −λ
                                              ∂f
                                              ∂χ i
                                                   = 0 i = 1,3 ,  (    )
где χ 1 = cosα , χ 2 = cos β , χ 3 = cos γ , или в развернутой
форме
             (J x − λ )cosα − J xy cos β − J xz cos γ            =0
             − J xy cosα + (J y − λ )cos β − J yz cos γ = 0            (1.8)
             − J xz cosα − J yz cos β + (J z − λ )cos γ = 0.
       Однородная система линейных уравнений (1.8)
относительно cosα , cos β , cos γ   имеет нетривиальное
решение, если детерминант ее равен нулю:
                         det J − λE = 0.           (1.9)
Левая часть равенства (1.9) представляет собой полином
третьей степени относительно λ . Этот полином имеет три
действительных корня, т.к. тензор J симметрический с
действительными компонентами. Кроме того, умножая
каждое из равенств (1.8) соответственно на χ 1 , χ 2 , χ 3 и
складывая, получим
                                  3
                                        ∂J u
                                 ∑ ∂χ
                                 i =1
                                                 χ i − 2λ = 0.        (1.10)
                                             i
По теореме Эйлера об однородных функциях из (1.10) имеем
                              J u − λ = 0,
т.е. значения множителя λi                       совпадают со значениями
                          (             )
момента инерции J i i = 1,3 относительно главных осей
эллипсоида инерции тела в выбранной точке.