Устойчивость равновесия и анализ малых движений материальных систем около положений равновесия - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

10
2) поскольку кинетическая и потенциальная энергии в
η
- окрестности
η
<
i
q ,
αη
<
i
q
&
строго положительные функции, то там же и 0=
E
, когда для
0 ,0 ,..,1
=
==∀
ii
qqni
&
.
Выберем 0
>∀
ε
из полуоткрытого отрезка ),0[
η
и рассмотри окрестность,
задаваемую неравенствами (10). Эти неравенства в фазовом пространстве
(пространстве обобщенных координат и обобщенных скоростей) определяют
замкнутый куб
ε
K , граница которого
ε
K
∂
также является замкнутым
множеством. Поскольку
E
- непрерывная функция обобщенных координат и
обобщенных скоростей, то на границе куба она достигает своего точного нижнего
значения a
E
=inf . Таким образом для произвольных значений обобщенных
координат и обобщенных скоростей (для
{
}{}
n
i
i
n
i
i
qqqq
11
,
==
=∀=∀
&
&
r
r
) выполняется
неравенство
0),...,;,..,.(
11
>=
nn
qqqqEE
&&
Поскольку
E
в центре куба
ε
K (),...,2,1( 0,0 niqq
ii
=
=
=
&
) имеет локальный
минимум равный нулю, то 0
>
∃
такое, что при выполнении неравенств
αδ
<< )(,)( tqtq
ii
&
полная энергия a
E
<
.
Пусть теперь
i
q
удовлетворяют уравнениям движения (1). Если начальные
значения удовлетворяют условиям (11), то при
0
tt
=
будут выполняться условия
(10), поскольку при aEtt
<=
00
, а так как для
t
∀
выполняется равенство (14), то
и a
E
< . Поэтому точка фазового пространства ),...,,;,...,,(
2121 nn
qqqqqq
&&&
Φ
не
может достигнуть границы куба
ε
K
∂
, на которой a
E
≥ , и остается внутри куба.
Теорема доказана.
Теорема сохраняет свою силу, если на систему помимо консервативных
сил действуют диссипативные
*)
обобщенные силы
∗
i
Q .
__________________________________________________________________________________________
*)
Диссипация (рассеивание) механической энергии – преобразование ее части в тепловое и (или) акустическое
излучение.

Страницы