Устойчивость равновесия и анализ малых движений материальных систем около положений равновесия - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

12
т.е. при наличии диссипативных сил полная механическая энергия может только
убывать и при 0
→∞→
E
t
, т.е. система стремится к положению равновесия.
§2. Малые движения системы под действием потенциальных
сил около устойчивого положения равновесия
Рассмотрим малые движения консервативной системы с n степенями
свободы около устойчивого положения равновесия. Будем считать, что в
положении равновесия все обобщенные координаты ),..,1( niq
i
=
равны нулю.
Для большинства известных консервативных сил отвечающая им потенциальная
энергия
),...,(
1 n
qqV
является аналитической функцией.
Преобразуем потенциальную и кинетическую энергии.
Потенциальную энергию разложим в ряд Тейлора в окрестности положения
равновесия. Имеем
∑
=
∑
=
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+=
n
j
n
ji
ji
ji
j
j
qOqq
qq
V
q
q
V
VV
11,
3
0
2
0
0
)(
2
1
(20)
полагая 0)0,...,0(
0
==VV и, учитывая, что в положении равновесия все первые
частные производные равны нулю (6), с точностью до малых членов третьего
порядка получаем
∑
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂∂
∂
==
n
ji
ji
ij
ji
ij
qq
V
cqqcV
1,
0
2
000
,
2
1
. (21)
Кинетическую энергию
∑
=
=
n
ji
jiij
qqaT
1,
2
1
&&
,

Страницы