Устойчивость равновесия и анализ малых движений материальных систем около положений равновесия - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

13
считая, что ее коэффициенты ),...,(
1 nij
qqa являются аналитическими функциями,
разложим в ряды Тейлора
)0,...,0( ...,
00
ij
ijij
ij
aaaa =+=
и сохраним только первые члены разложения )0,...,0(
0
ij
ij
aa = . В результате
таких преобразований для функции Лагранжа получаем следующее выражение
∑∑
==
−=−=
n
ji
ji
ij
n
ji
ji
ij
qqcqqaVTL
1,
0
1,
000
2
1
2
1
&&
(22)
Заметим, что из выражения (3) после подстановки в него (4) вытекает, что
кинетическая энергия является положительно-определенной квадратичной
формой обобщенных скоростей
i
q
&
для любых значений
i
q из области их
определения, из этого следует, что
0
T
также является положительно-
определенной квадратичной формой обобщенных скоростей;
0
V – положительно-
определенная квадратичная форма обобщенных координат, поскольку в данном
параграфе изучаются малые движения системы в окрестности устойчивого
положения равновесия, когда
V
принимает минимальное значение, равное нулю
(13). Индекс «
0
» ниже будем опускать.
На основе выражений (1) и (22) составим уравнения движения
0)(
1
=+
∑
=
jij
n
j
jij
qcqa
&&
(23)
Таким образом для описания малых движений системы около положения
равновесия получена линейная система обыкновенных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами. Поскольку исходные уравнения в
общем случае являются нелинейными, то описанный процесс упрощения их,
приводящий в конечном итоге к системе линейных дифференциальных
уравнений, называется «линеаризацией» в окрестности устойчивого положения
равновесия. Решения
этих уравнений должны удовлетворять условиям (10), (11) и
поэтому называются уравнениями малых колебаний.

Страницы