Устойчивость равновесия и анализ малых движений материальных систем около положений равновесия - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

15
Из линейной алгебры [1,2] известно, что для существования нетривиального
решения однородной системы необходимо и достаточно обращение в ноль ее
определителя. Следуя этой теореме составим характеристическое уравнение
0)det()(
=
−
≡
∆
A
C
µ
µ
(28)
Левая часть уравнения (28) является многочленом n-го порядка. Поэтому,
согласно основной теореме алгебры уравнение (28) имеет ровно n корней
n
µ
µ
µ
,...,,
21
, которые называются собственными значениями (СЗ) задачи (27).
Каждому СЗ
s
µ
отвечает собственный вектор (СВ)
T
snsss
yyyy ),...,,(
21
=
r
такой,
что
0)(
≡
−
ss
yAC
r
µ
(29)
Из соотношения (10) очевидно, что
sss
yXy
r
r
=
′
, где
s
X
– произвольная
постоянная, также является СВ, т.е. каждый вектор определяется с точностью до
постоянного множителя.
Справедливы следующие утверждения:
1) все СЗ 0>µ
s
;
2) все СВ удовлетворяют условиям ортогональности
spsCpsspsAps
dyyCdyyA
δ
δ
=
⋅
=⋅
r
r
r
r
, при
ps
µ
µ
≠ (30)
где
sp
δ
- символ Кронекера,
,0 ,0 >
⋅
=
>
⋅
=
sssCsssA
yyCdyyAd
r
r
r
r
.
Первое утверждение доказывается следующим образом. Умножим
выражение (29) слева (или справа) на
s
y
r
. Получаем
)/()( 0
s sssssssss
yyAyyCyyAyyC
r
r
r
r
rrrr
⋅
⋅
=
→
=
⋅
−
⋅
µ
µ
Поскольку матрицы
C
A
,
– симметричные положительно-определенные, то
∑∑
==
>=⋅=⋅>=⋅=⋅
n
ji
sjsiijssss
n
ji
sjsiijssss
yycyCyyyCyyayAyyyA
1,1,
0 ,0
rrrrrrrr
а, следовательно, и
0>
s
µ
.

Страницы