Устойчивость равновесия и анализ малых движений материальных систем около положений равновесия - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

16
Для доказательства второго утверждения рассмотрим два равенства
ppp
sss
yAyC
yAyC
rr
r
r
µ
µ
=
=
Умножим первое равенство на
p
y
s
, а второе на
s
y
s
. Беря разность результатов
умножений, с учетом симметричности матриц А и С получаем
))(()()()()(
0
pspsspppssspppss
pspspspsspps
yyAyAyyyAyyAyyA
yyCyyCyCyyyCyyCyyC
rrrrrrrrrr
r
r
r
r
r
r
rrrrrr
⋅−=⋅−⋅=⋅−⋅=
==
⋅
−
⋅
=
⋅
−
⋅=⋅−⋅
µµµµµµ
Таким образом, если
ps
µ
µ
≠ , то отвечающие этим СЗ собственные векторы
одновременно удовлетворяют двум условиям ортогональности (30)
Свойства (30) иногда называют А-ортогональностью и С-ортогональностью
соответственно. Учитывая, что каждый СВ определяется с точностью до
постоянного множителя, мы можем их нормировать, положив
Asss
dyz /
r
r
= (31)
В этом случае получаем А-ортонормированную систему СВ, удовлетворяющих
условиям
sppsps
zAzzzA
δ
=
⋅
=
⋅
r
r
r
r
(32)
при этом
spspsps
zCzzzC
δ
µ
=
⋅
=
⋅
r
r
r
r
(33)
В пространстве обобщенных координат введем базис
{}
n
s
s
z
1=
r
и представим
вектор обобщенных координат в виде
∑
=
=
n
s
ss
zttq
1
)()(
r
r
θ
(34)
где
sss
zqAzAq
r
r
r
r
⋅
=
⋅
=
θ
Будем рассматривать
s
θ
как новые обобщенные координаты. Выразим
кинетическую и потенциальную энергию через новые координаты, Подставляя

Страницы