Устойчивость равновесия и анализ малых движений материальных систем около положений равновесия - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

22
экспоненциально растет со временем, что указывает на неустойчивость
выбранного положения равновесия.
Таким образом, в рассмотренном примере неустойчивость выбранного
положения равновесия проявляется в том, что в его окрестности амплитуда
одного из элементарных решений растет экспоненциально.
Пример 2.3 Обратимся к примеру 1.2 и исследуем малые движения
системы. В рассматриваемом случае потенциальная энергия имеет вид
)cos1(
2
1
2
ϕ
−= glmV
Вычислим кинетическую энергию и функцию Лагранжа:
21
TTT
+
=
2
2
2222
2
2
2
1
2
2
2
22
2
11
12
1
,sin
4
1
)cos
2
1
(
,
2
1
2
1
,
2
1
lmJllxxxv
JvmTxmT
CCCC
CC
=++=+=
+==
ϕϕϕϕ
ϕ
&&
&&&
&
&
ϕϕ+ϕ++= cos
2
1
6
1
)(
2
1
2
22
2
2
21
&
&
&
&
xlmlmxmmT
)cos1(
2
2
1
cos
2
2
1
22
2
6
1
2
)
21
(
2
1
ϕ−−ϕϕ+ϕ++= glmxlmlmxmmL
&
&
&
&
Приведем вначале полные (неупрощенные) уравнения Лагранжа:
0sin
2
1
3
1
cos
2
1
,0sin
2
1
cos
2
1
)(
2
2
22
2
2221
=ϕ+ϕ+ϕ
=ϕϕ−ϕϕ++
glmlmx lm
lmlmxmm
&&
&&
&&&
&&
Уравнения малых движений в окрестности 0,0
=
ϕ
=
x
после упрощений
принимает вид
0
2
1
3
1
2
1
,0
2
1
)(
2
2
22
221
=ϕ+ϕ+
=ϕ++
glmlmx lm
lmxmm
&&
&&
&&
&&
(51)

Страницы