Устойчивость равновесия и анализ малых движений материальных систем около положений равновесия - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

27
характеристического уравнения будем обозначать через
r
λ
, а отвечающие им СВ
–
r
y
r
.
Докажем следующие два свойства корней.
1) Все вещественные корни отрицательные.
2) Вещественные части комплексных корней
k
α
<0 – отрицательные.
Докажем вначале следующее свойство симметричных матриц.
Если квадратная матрица
G
с вещественными элементами симметричная,
то ее квадратичная форма
*yy
G
rr
⋅ - вещественная.
Действительно
v
v
G
uu
G
v
u
G
u
v
G
i
v
v
G
uu
G
v
iu
v
iu
G
yy
G
r
r
rrr
r
r
r
r
r
r
r
rr
r
rrr
⋅
+
⋅=⋅
−
⋅
+
⋅
+
⋅
=
−⋅+=⋅ )()()(*
поскольку
vuGuGvuGvuvG
T
r
r
r
r
r
r
r
r
=
=
=
Обратимся теперь к уравнению (58) и умножим его на *y
v
. Получаем
следующее квадратное уравнение
02
2
=
+
+
cba
λ
λ
где 0 ,02 ,0 >
⋅
=
>⋅=>⋅= yC
y
cyy
H
byy
A
a
r
rrrr
. Корни этого уравнения
, ,
2
acbDDbDb −=−−=+−=
−
+
λλ
могут быть вещественными и отрицательными, если дискриминант 0>D , либо
комплексно сопряженными с отрицательной вещественной частью, если .0
<
D
Из проведенного анализа вытекает доказательства указанных выше свойств.
Рассмотрим теперь множество элементарных решений
)21,2,...,(s )exp( nty
sss
==
λθ
r
r
(60)
Элементарное решение (ЭР) будем называть сильно демпфированным, если
r
λ
λ
=
– вещественное, и будем называть слабо демпфированным, если
k
λ
λ
=
–
комплексное. Сильно демпфированное ЭР, экспоненциально затухая, может не

Страницы