Высшая математика. Неопределенный интеграл. Вешев В.А - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Методом интегрирования по частям получим
Z
(2x + 1) arctg(3x) dx = (x
2
+ x) arctg(3x) − 3
Z
x
2
+ x
1 + 9x
2
dx =
= (x
2
+ x) arctg(3x) −
1
3
Z
(9x
2
+ 1) + (9x − 1)
9x
2
+ 1
dx =
= (x
2
+ x) arctg(3x) −
1
3
Z
1 +
9x
9x
2
+ 1
−
1
9x
2
+ 1
dx =
= (x
2
+ x) arctg(3x) −
x
3
−
1
6
ln |9x
2
+ 1| +
1
9
arctg(3x) + C.
Пример 2.9
Вычислить интеграл
Z
−3 cos
2
x − sin x cos x + sin
2
x
sin x(1 + cos x)
dx. При-
меним универсальную подстановку tg
x
2
= t, x = 2 arctg t, dx =
2 dt
1 + t
2
, cos x =
1 − t
2
1 + t
2
, sin x =
2t
1 + t
2
.
Получим
Z
−3
(1−t
2
)
2
(1+t
2
)
2
−
2t(1−t
2
)
(1+t
2
)
2
+
4t
2
(1+t
2
)
2
2t
1+t
2
1 +
1−t
2
1+t
2
2dt
1 + t
2
=
=
1
2
Z
−3 + 10 t
2
− 3 t
4
− 2 t + 2 t
3
(1 + t
2
) t
dx.
Выделим целую часть неправильной дроби и простейшие дроби:
1
2
Z
−3t
4
+ 2t
3
+ 10t
2
− 2t − 3
(1 + t
2
) t
dx =
Z
−3t
2
+ 1 +
8t − 2
1 + t
2
−
3
2t
dt =
= −
3t
2
4
+ t −
3
2
ln |t| + 4
Z
2t
t
2
+ 1
dt − 2
Z
1
1 + t
2
dt =
= −
3t
2
4
+ t −
3
2
ln |t| + 4 ln |1 + t
2
| − 2 arctg t + C =
h
t = tg
x
2
i
=
= −
3
4
tg
2
x
2
+ tg
x
2
−
3
2
ln
tg
x
2
+ 4 ln
1 + tg
2
x
2
− x + C.
9

Страницы