Высшая математика. Неопределенный интеграл. Вешев В.А - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Дифференцируем обе части последнего равенства
x
2
− 14x + 40
√
x
2
− 14x + 40
= A
√
x
2
− 14x + 40+
+
(Ax + B)(2x − 14)
2
√
x
2
− 14x + 40
+
λ
√
x
2
− 14x + 40
.
После умножения на
√
x
2
− 14x + 40 получим
x
2
− 14x + 40 ≡ A(x
2
− 14x + 40) + (Ax + B)(x − 7) + λ;
(1 − 2A)x
2
+ (21A − 14 − B)x + 40 − 40A + 7B − λ ≡ 0;
при x
2
⇒ 1 − 2A = 0 ⇒ A = 1/2,
при x
1
⇒ 21A − 14 − B = 0 ⇒ B = −7/2,
при x
0
⇒ 40 − 40A + 7B − λ = 0 ⇒ λ = −9/2.
Таким образом,
Z
√
x
2
− 14x + 40 dx =
x − 7
2
√
x
2
− 14x + 40−
−
9
2
Z
d(x − 7)
p
(x − 7)
2
− 3
2
=
x − 7
2
√
x
2
− 14x + 40−
−
9
2
ln |x − 7 +
√
x
2
− 14x + 40| + C.
Пример 2.8
Вычислить интеграл
Z
(2x + 1) arctg(3x) dx. Будем считать,
что u = arctg(3x), dv = (2x+1)dx. Тогда du =
3dx
1 + 9x
2
и v = x
2
+x.
8

Страницы