Элементы линейной алгебры. Виноградов А.А. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИВГПУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

11
§3. Матрица, обратная к данной неособенной матрице.
Квадратная матрица называется неособенной, если её определитель от-
личен от 0.
Единичной матрицей n-го порядка называется матрица E, на главной
диагонали которой стоят единицы, остальные элементы равны 0. ,
1 0
0 1
=E
,
1 0 0
0 1 0
0 0 1
=E
=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
E и т.д.
Матрица C называется обратной к A, если .
E
A
C
=⋅ Тогда обязательно
.
E
C
A
=⋅ Матрица, обратная к A обозначается ,
1−
A т.е.
. ,
11
EAAEAA =⋅=⋅
−−
У особенных матриц не существует обратных:
, ,
11
EAAEAA =⋅=⋅
−−
т.е. 0 ,1
1
==⋅
−
AAA для особенной матрицы,
0=1, что невозможно.
.
1
1
A
A =
−
Если A неособенная, то
1−
A
существует и
определена однозначно. Для её нахождения выполним следующие операции:
1)
Составляем матрицу
=
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
C
...
.......................
...
...
2 1
2 22 21
1 12 11
из алгебраических до-
полнений элементов матрицы A
ij
A( - алгебраическое дополнение
ij
a из A).
2)
Находим .A
3)
Транспонируем матрицу C.
4)
T
C умножаем на число .
1
A
Полученная матрица и есть
1−
A
.
⋅=⋅=
−
A
C
A
A
T
11
1
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
...
.......................
...
...
2 1
2 22 12
1 21 11
=
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
nnnn
n
n
...
................................
...
...
2 1
2
22 12
1
21 11
             §3. Матрица, обратная к данной неособенной матрице.
        Квадратная матрица называется неособенной, если её определитель от-
личен от 0.
        Единичной матрицей n-го порядка называется матрица E, на главной
                                                                      1 0 
диагонали которой стоят единицы, остальные элементы равны 0. E =          ,
                                                                       0 1
                    1 0 0 0 
     1 0 0                   
                   0 1 0 0
E =  0 1 0 , E =              и т.д.
      0 0 1          0 0 1  0
                            
                      0 0  0 1  
        Матрица C называется обратной к A, если C ⋅ A = E. Тогда обязательно
                                                                   −1
A ⋅ C = E.    Матрица,     обратная    к A    обозначается        A ,     т.е.
  −1               −1
A ⋅ A = E , A ⋅ A = E.
      У      особенных      матриц     не    существует    обратных:
 −1            −1              −1
A ⋅ A = E , A ⋅ A = E , т.е. A ⋅ A = 1, A = 0 для особенной матрицы,
                              1−1                                         −1
0=1, что невозможно.       A        =
                                . Если A неособенная, то A существует и
                              A
определена однозначно. Для её нахождения выполним следующие операции:
                                       A11 A12 ... A1n 
                                                                
                                        A      A     ... A   2n 
      1) Составляем матрицу C =  21 22                           из алгебраических до-
                                       .................... ... 
                                       A A ... A 
                                       n1 2 n                nn 
полнений элементов матрицы A ( Aij - алгебраическое дополнение aij из A).
       2)    Находим A .
       3)    Транспонируем матрицу C.
                                   1
             C умножаем на число  .
               T
       4)
                                   A
                                        −1
       Полученная матрица и есть A .
                                                A11 A21                  A 
                                                                    ... n1 
              A11 A21 ... An1                 A            A            A 
                                             A            A            A       
               A
              12 22 A     ... A  n2 
                                                   12         22
                                                                     ...     n 2  
           1                                =     A          A            A     
            ⋅ ....................... 
 −1 1   T
A =   ⋅C =                                                                       
    A      A                                  ................................ 
              A A ... A 
              1n 2 n              nn         A            A2 n         Ann 
                                                   1n
                                                                      ...         
                                                A             A            A     
                                                                                 

                                              11

Страницы