Элементы линейной алгебры. Виноградов А.А. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИВГПУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

9
A = .
131312121111
AaAaAa ⋅+⋅+⋅ (по определению).
()
.1121121
2 1
1 1
1
1111
2
11
=−=⋅−⋅===⋅−= MMA
()
.6)0123(
2 0
1 3
1
1212
3
12
−=⋅−⋅−=−=−=⋅−= MMA
()
.30113
1 0
1 3
1
1313
4
13
=⋅−⋅===⋅−= MMA
Тогда
()()
.16316211 =⋅+−⋅−+⋅=A
Проверим отмеченное свойство на 3-й строке:
333332323131
AaAaAa ⋅+⋅+⋅ = .210
333231
AAA ⋅+⋅+⋅
()
.2)3111(
1 3
1 1
1
3232
5
32
=⋅−⋅−=−=−=⋅−= MMA
()
.73)2(11
1 3
2- 1
1
3333
6
33
=⋅−−⋅===⋅−= MMA
333332323131
AaAaAa ⋅+⋅+⋅ = .1672210
31
AA ==⋅+⋅+⋅
Если элементы третьей строки умножить на алгебраические дополнения
1-й и сложить, то должен получиться 0:
313321321131
AaAaAa ⋅+⋅+⋅
=0
032)6(110 =⋅+−⋅+⋅
0 = 0.
Отметим ещё несколько важных свойств определителей.
2)
Если в матрице две строки поменять местами, то определитель изме-
нит знак. (То же для столбцов).
3)
Если к строке матрицы прибавить другую строку, умноженную на
число λ, то определитель не изменится. (То же для столбцов).
Последним свойством часто пользуются, чтобы при нахождении опре-
делителя получить нулевые элементы. Например:
.
2 1 3
3 1 2
1 3 1
,
2 1 3
3 1 2
1 3 1
=
= AA Наша цель – получить на месте
12
a и
13
a
нули, пользуясь свойством 3). Для этого к 2-му столбцу прибавим 1-й, умно-
женный на (-3):
==
2 1 3
3 1 2
1 3 1
A =
⋅−+
⋅−+
⋅−+
2 3)3(1 3
3 2)3(1 2
1 1)3(3 1
.
2 8 3
3 5 2
1 0 1
−
−
Теперь к 3-му столбцу прибавим 1-й, умноженный на (-1). 
 A = a11 ⋅ A11 + a12 ⋅ A12 + a13 ⋅ A13 . (по определению).
                                 1 1
A11 = (− 1) ⋅ M 11 = M 11 =
            2
                                      = 1 ⋅ 2 − 1 ⋅ 1 = 2 − 1 = 1.
                                 1 2
                                     3 1
A12 = (− 1) ⋅ M 12 = − M 12 = −
            3
                                           = −(3 ⋅ 2 − 1 ⋅ 0) = −6.
                                     0 2
                                 3 1
A13 = (− 1) ⋅ M 13 = M 13 =
            4
                                      = 3 ⋅1 − 1 ⋅ 0 = 3.
                                 0 1
Тогда A = 1 ⋅ 1 + (− 2) ⋅ (− 6 ) + 1 ⋅ 3 = 16.
        Проверим                   отмеченное            свойство          на       3-й   строке:
a31 ⋅ A31 + a 32 ⋅ A32 + a 33 ⋅ A33 = 0 ⋅ A31 + 1 ⋅ A32 + 2 ⋅ A33 .
                                     1 1
A32 = (− 1) ⋅ M 32 = − M 32 = −
            5
                                           = −(1 ⋅ 1 − 1 ⋅ 3) = 2.
                                     3 1
                                 1 -2
A33 = (− 1) ⋅ M 33 = M 33 =
            6
                                         = 1 ⋅ 1 − (−2) ⋅ 3 = 7.
                                  3 1
a31 ⋅ A31 + a 32 ⋅ A32 + a 33 ⋅ A33 = 0 ⋅ A31 + 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 7 = 16 = A .
       Если элементы третьей строки умножить на алгебраические дополнения
1-й и сложить, то должен получиться 0: a 31 ⋅ A11 + a 32 ⋅ A12 + a 33 ⋅ A13 =0
                                         0 ⋅ 1 + 1 ⋅ (−6) + 2 ⋅ 3 = 0
                                         0 = 0.
       Отметим ещё несколько важных свойств определителей.
       2) Если в матрице две строки поменять местами, то определитель изме-
нит знак. (То же для столбцов).
       3)     Если к строке матрицы прибавить другую строку, умноженную на
число λ, то определитель не изменится. (То же для столбцов).
       Последним свойством часто пользуются, чтобы при нахождении опре-
делителя получить нулевые элементы. Например:
           1 3 1         1 3 1
                  
       A =  2 1 3 ,  A = 2 1 3 . Наша цель – получить на месте a12 и a13
           3 1 2          3 1 2
                  
нули, пользуясь свойством 3). Для этого к 2-му столбцу прибавим 1-й, умно-
                              1 3 1       1 3 + (−3) ⋅ 1      1    1       0    1
женный на (-3):          A = 2 1 3 = 2 1 + (−3) ⋅ 2 3 = 2 − 5 3 .
                               3 1 2       3 1 + (−3) ⋅ 3 2           3 −8 2

         Теперь к 3-му столбцу прибавим 1-й, умноженный на (-1).



                                                   9

Страницы