Элементы линейной алгебры. Виноградов А.А. - 8 стр.

a11 : A = (a11 ) . По определению положим A = a11 . Для матриц второго порядка
     a a 
A =  11 12  положим по определению A = a11 ⋅ a 22 − a12 ⋅ a 21 .
      a 21 a 22 
         Минором элемента aij называется определитель матрицы, которая полу-
чится, если из матрицы A убрать строку и столбец, в которых стоит элемент aij
(строку №i и столбец №j). Обозначим его M ij . Для элементов матриц второго
порядка минорами будут соответствующие элементы:
                 M 11 = a 22 , M 12 = a 21 , M 21 = a12 , M 22 = a11 .
      Алгебраическим дополнением Aij элемента aij называется его минор,
умноженный на (− 1) ,т.е. в случае, если сумма индексов i + j чётная, алгеб-
                             i+ j

раическое дополнение равно минору, если сумма индексов i + j нечётная, ал-
гебраическое дополнение равно минору, умноженному на (-1). Общая формула:
 Aij = (− 1) ⋅ M ij .
            i+ j
                      Для элементов матриц второго порядка имеем
A11 = (− 1)       ⋅ M 11 = (− 1) ⋅ M 11 = M 11 = a 22 ,   A12 = (− 1) ⋅ M 12 = − M 12 = − a 21 ,
           1+1                      2                                3


A21 = (− 1) ⋅ M 21 = − a12 , A22 = (− 1) ⋅ M 22 = a11 .
              3                               4


       Сформулируем следующее общее определение определителя для матри-
цы любого порядка. Определитель квадратной матрицы есть сумма произведе-
ний элементов первой строки на их алгебраические дополнения.
                                             a a 
       Действительно,         для       A =  11 12  A11 = a 22 , A12 = − a 21 ,
                                              a    a
                                              21 22 
 A = a11 ⋅ A11 +
+ a12 ⋅ A12 = a11 ⋅ a 22 + a12 ⋅ (− a 21 ) , как и раньше. Пользуясь этим определением,
можно найти определитель матрицы 3-го порядка: минорами элементов будут
определители матриц 2-го порядка, которые мы умеем считать. Значит, найдём
алгебраические дополнения элементов 1-й строки и A посчитаем, сложив про-
изведения элементов 1-й строки на их алгебраические дополнения: A =
a11 ⋅ A11 + a12 ⋅ A12 + a13 ⋅ A13 . Научившись искать определители матриц 3-го по-
рядка, переходим к матрицам 4-го порядка и т.д.
         Справедливо следующее общее свойство определителей.
         1) Сумма произведений элементов любой строки на их алгебраические
дополнения равна определителю матрицы. (ai1 ⋅ Ai1 + ... + a in ⋅ Ain = A ) . Сумма
произведений элементов строки на алгебраические дополнения другой строки
равна 0 (a i1 ⋅ A j1 + a i 2 ⋅ A j 2 + ... + a in ⋅ A jn = 0) . Те же утверждения верны для
                               1 − 2 1
                                      
столбцов. Например, пусть A =  3 1 1 
                              0 1 2 
                                      

                                                   8