Элементы линейной алгебры. Виноградов А.А. - 14 стр.

уравнение, обращают его в тождество, например, x = 1, y = 1 : 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 1 = 5.
Другое решение (2,5;0): 2 ⋅ 2.5 + 3 ⋅ 0 = 5.
       Уравнение вида a1 x1 + a 2 x 2 + ... + a n x n = b , где a1 , ... , a n – данные чи-
словые коэффициенты, b - данное число (свободный член), x1 , ... , x n - неиз-
вестные, называется линейным уравнением с n неизвестными. Решением будет
n-ка чисел x10 , ... , x n0 , которая при подстановке в уравнение обратит его в тож-
дество.
         2 x + 3 y = 5
                            - система 2-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными
           x +  y  =  2
                                             (   0   0
                                                         )
(x,y). Решением называется пара чисел x , y , которая есть решение для каж-
дого из уравнений системы. В данном случае x = 1, y = 1 - решение,
 x = 2,5 y = 0 не является решением системы, т.к. не является решением для
второго уравнения.
           Системой m линейных уравнений с n неизвестными назовём систему
вида:
    a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1
    
    a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b2
                                                      ,
    .................... ..........................
    a x + a x + ... + a x = b
     m1 1          m2 2                 mn n        m
aij -коэффициенты уравнений, bi -свободные члены.
                                                              a11 a12 ... a1n 
                                                                                      
                                                              a 21 a 22 ... a 2 n 
    Если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов A =                              
                                                              ..................... 
                                                             a                        
                                                              m1 a m 2 ... a mn 
                                                      b1 
                                                      
размерности (m × n ), столбец свободных членов B =  ... , столбец неизвест-
                                                     b 
                                                      m
         x1 
         
ных X =  ... , то систему можно записать в матричной форме: A ⋅ X = B . Ес-
        x 
         n
                                                                                    −1
ли матрица A – квадратная неособенная, т.е. m = n, A ≠ 0, то существует A .
      Система, у которой число уравнений m равно числу неизвестных n и оп-
ределитель матрицы коэффициентов отличен от 0, называется определённой
системой. Она имеет единственное решение, которое можно найти так. Дом-
ножим матричное равенство A ⋅ X = B слева на A : A ⋅ ( AX ) = A ⋅ B.
                                                −1   −1              −1




                                            14