Элементы линейной алгебры. Виноградов А.А. - 15 стр.

Для операции умножения матриц справедливо свойство, по которому результат
умножения не изменится, если скобки расставить по другому, т.е.
A −1 ⋅ ( AX ) = ( A −1 ⋅ A) ⋅ X = E ⋅ X = X .
                      −1
      Имеем X = A ⋅ B - матричная формула решения определённой системы.
      Решим матричным способом следующую систему:
 x − 2y + z = 2                                                            1 − 2 1 
                                                                                   
3 x + y + z = 4 Составим матрицу коэффициентов A =  3 1 1 . Найдём
      y + 2z = 2                                                            0 1 2
                                                                                   
обратную к ней (см. пример предыдущего параграфа).
          1             5     3
                            − 
          16 16 16 
  −1      6             2     2
A = −                           . Тогда решение
            16         16    16 
              3         1    7  
                    −           
          16 16 16 
                       1        5     3
                                   − 
                       16 16 16   2               1 
         −1            6        2     2            
X = A ⋅ B = −                           ⋅  4  = =  0 , т.е. x = 1, y = 0, z = 1 - решение
                         16    16   16   2        1 
                          3     1    7             
                             −         
                       16 16 16 
системы.
           Матричная формула решения сводится к решению по формулам Краме-
ра, которые получаются так. Обозначим A = ∆ (буква "дельта" греческого ал-
фавита). Заменим в матрице A первый столбец столбцом свободных членов и
сосчитаем определитель, который обозначим ∆1 (первый вспомогательный).
           Заменим в матрице A 2-й столбец столбцом свободных членов, сохраняя
остальные члены A на месте, и сосчитаем определитель, обозначим его ∆ 2 (вто-
рой вспомогательный). Так поступим с каждым столбцом матрицы A. Получим
∆1 , ∆ 2 , ∆ 3 ,..., ∆ n – вспомогательные определители. ∆ 3 – определитель матрицы ,
у которой вместо 3-го столбца поставлен столбец сводных членов. Формулы
Крамера:
                 ∆             ∆                  ∆
         x1 = 1 , x 2 = 2 , ... , x n = n .
                  ∆             ∆                 ∆
        Например, решим предыдущую систему по формулам Крамера.
     1 − 2 1 
                    
A =  3 1 1 . A = 16 (см. пример предыдущего параграфа, где искали матри-
     0 1 2
                    
цу, обратную к A).
                                              15