ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
20
=++⋅+⋅
=++⋅−⋅
−=−−⋅+⋅
=+−−⋅
00,12718,3141,100
00,26929,2035,500
000,13647,03176,010
667,106667,02000,06667,01
2413
2413
2413
2413
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
Делим 3-е уравнение на "главный" элемент, делая "главный" равным 1:
164,55817,01
24
=+⋅ xx
К 4-му уравнению прибавляем преобразованное 3-е, умноженное на
(-1б141), чтобы 1-й коэффициент стал равен 0:
164,5141,100,12)5817,0141,1718,3(0
24
⋅−=⋅⋅−+⋅ xx
Получаем систему, равносильную исходной:
=+⋅+⋅+⋅
=+⋅+⋅−⋅
−=−−⋅+⋅
=+−−⋅
108,6054,3000
164,55817,0100
000,13647,03176,010
667,106667,02000,06667,01
2413
2413
2413
2413
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
Нам удалось исходную систему свести к равносильной ей такой, что на
"главной" диагонали матрицы коэффициентов единицы, под главной диагона-
лью – нули. Такие матрицы называют верхними треугольными с единичной
диагональю. Теперь из последнего уравнения выражаем
2
x
:
000,2
054,3
108,6
2
==x
. Подставляя
2
x =2 в предпоследнее уравнение, получим:
.001,42518,0164,5
4
=⋅−=x
Затем поднимаемся к следующему у равнению, и подставляем найденные
2
x и
4
x : 000,123647,0001,43176,01
1
=⋅+⋅+−=x .
Наконец, найденные
124
, , xxx
подcтавляем в 1-е уравнение:
+= 667,1
3
x
.001,3206667,0001,42,0667,0 =⋅−⋅++
Выполним проверку. В исходную систему подставим найденные значения.
=⋅+⋅−⋅+⋅
−=⋅+⋅−−⋅
=⋅+−⋅+⋅−
=⋅+⋅+
19001,45001,33000,22000,14
25001,43001,315000,2000,110
4001,42001,3000,22000,15
13001,32000,23000,1
Эти равенства почти удовлетворяются, расхождения лишь в последнем уч-
тённом знаке, погрешности в решении произошли за счёт проведённых округ-
лений. (Точные решения системы 4 ,3 ,2 ,1
4321
==== xxxx ).
1 ⋅ x3 − 0,6667 x1 − 0,2000 x 4 + 0,06667 x 2 = 1,667
0 ⋅ x3 + 1 ⋅ x1 − 0,3176 x 4 − 0,3647 x 2 = −1,000
0 ⋅ x3 − 0 ⋅ x1 + 5,035 x 4 + 2,929 x 2 = 26,00
0 ⋅ x + 0 ⋅ x + 1,141x + 3,718 x = 12,00
3 1 4 2
Делим 3-е уравнение на "главный" элемент, делая "главный" равным 1:
1 ⋅ x 4 + 0,5817 x 2 = 5,164
К 4-му уравнению прибавляем преобразованное 3-е, умноженное на
(-1б141), чтобы 1-й коэффициент стал равен 0:
0 ⋅ x 4 + (3,718 − 1,141 ⋅ 0,5817) ⋅ x 2 = 12,00 − 1,141 ⋅ 5,164
Получаем систему, равносильную исходной:
1 ⋅ x3 − 0,6667 x1 − 0,2000 x 4 + 0,06667 x 2 = 1,667
0 ⋅ x3 + 1 ⋅ x1 − 0,3176 x 4 − 0,3647 x 2 = −1,000
0 ⋅ x3 − 0 ⋅ x1 + 1 ⋅ x 4 + 0,5817 x 2 = 5,164
0 ⋅ x + 0 ⋅ x + 0 ⋅ x + 3,054 x = 6,108
3 1 4 2
Нам удалось исходную систему свести к равносильной ей такой, что на
"главной" диагонали матрицы коэффициентов единицы, под главной диагона-
лью – нули. Такие матрицы называют верхними треугольными с единичной
диагональю. Теперь из последнего уравнения выражаем x2 :
6,108
x2 = = 2,000 . Подставляя x 2 =2 в предпоследнее уравнение, получим:
3,054
x 4 = 5,164 − 0,518 ⋅ 2 = 4,001.
Затем поднимаемся к следующему уравнению, и подставляем найденные
x 2 и x 4 : x1 = −1 + 0,3176 ⋅ 4,001 + 0,3647 ⋅ 2 = 1,000 .
Наконец, найденные x 4 , x 2 , x1 подcтавляем в 1-е уравнение: x3 = 1,667 +
+ 0,667 + 0,2 ⋅ 4,001 − 0,06667 ⋅ 2 = 3,001.
Выполним проверку. В исходную систему подставим найденные значения.
1,000 + 3 ⋅ 2,000 + 2 ⋅ 3,001 = 13
− 5 ⋅ 1,000 + 2 ⋅ 2,000 − 3,001 + 2 ⋅ 4,001 = 4
10 ⋅ 1,000 − 2,000 − 15 ⋅ 3,001 + 3 ⋅ 4,001 = −25
4 ⋅ 1,000 + 2 ⋅ 2,000 − 3 ⋅ 3,001 + 5 ⋅ 4,001 = 19
Эти равенства почти удовлетворяются, расхождения лишь в последнем уч-
тённом знаке, погрешности в решении произошли за счёт проведённых округ-
лений. (Точные решения системы x1 = 1, x 2 = 2, x3 = 3, x 4 = 4 ).
20
