Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 111 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ϕ, E
θ
ϕ(X) = α
X, P
X
,
P
X
Γ.
E {ϕ(X) |T (X) = t } = α
t T
P
T
P
X
.
E
θ
ϕ(X) = E
θ
E {ϕ(X) |T (X) = t } = α.
E {ϕ(X) |T (X) = t } = α P
T
, (9.17)
T.
α S
t
= {x : T (x) =
t } ⊂ X. S
t
θ ∈ Γ,
t.
S
t
T. §
T = T (X)
P = {P ( ·|θ), θ ∈ Θ},
g E
θ
g( T (X) ) = 0 θ ∈ Θ g(t) = 0
P.
X T
P. P
T
= {P
T
( ·|θ ), θ ∈
òåðèçîâàòü êëàññ êðèòåðèåâ ϕ, äëÿ êîòîðûõ Eθ ϕ(X) = α ïðè âñåõ ðàñ-
ïðåäåëåíèÿõ X, ïðèíàäëåæàùèõ çàäàííîìó ñåìåéñòâó P X , òî åñòü êëàññ
êðèòåðèåâ, ïîäîáíûõ ïî îòíîøåíèþ ê P X èëè Γ.
  Ëþáîé êðèòåðèé, äëÿ êîòîðîãî E { ϕ(X) | T (X) = t } = α äëÿ ïî÷òè
âñåõ çíà÷åíèé t ñòàòèñòèêè T ïî ëþáîìó ðàñïðåäåëåíèþ èç ñåìåéñòâà
PT   îêàçûâàåòñÿ ïîäîáíûì ïî îòíîøåíèþ ê P X . Äîêàçàòåëüñòâî òðèâè-
àëüíî:
                Eθ ϕ(X) = Eθ E { ϕ(X) | T (X) = t } = α.
  Î êðèòåðèÿõ, óäîâëåòâîðÿþùèõ

                                             P -ïî÷òè âñþäó,
                                              T
              E { ϕ(X) | T (X) = t } = α                                     (9.17)

ãîâîðÿò, ÷òî îíè èìåþò íåéìàíîâñêóþ ñòðóêòóðó îòíîñèòåëüíî ñòàòèñòè-
êè T. Äëÿ òàêèõ êðèòåðèåâ âåðîÿòíîñòü îòêëîíåíèÿ íóëåâîé ãèïîòåçû ïðè
åå ñïðàâåäëèâîñòè ðàâíà α íà êàæäîé èç ïîâåðõíîñòåé St = { x : T (x) =
t } ⊂ X. Òàê êàê ðàñïðåäåëåíèå íà êàæäîé St íå çàâèñèò îò çíà÷åíèé
θ ∈ Γ, òî óñëîâèå (9.17), ïî ñóùåñòâó, ñâîäèò ïðîáëåìó ê ïðîâåðêå ïðîñòîé
ãèïîòåçû ïðè êàæäîì çíà÷åíèè t. Ñðåäè êðèòåðèåâ, îáëàäàþùèõ íåéìà-
íîâñêîé ñòðóêòóðîé, ÷àñòî áåç òðóäà íàõîäèòñÿ íàèáîëåå ìîùíûé, äëÿ ÷å-
ãî ïðîáëåìà îïòèìèçàöèè ðåøàåòñÿ íà êàæäîé ïîâåðõíîñòè St îòäåëüíî.
Ñîáñòâåííî, èìåííî ýòîò ìåòîä áûë èñïîëüçîâàí ïðè ïîñòðîåíèè êðèòåðèåâ
(9.9)(9.16). Íî âñÿ ïðîáëåìà ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïîñòðîåííûé òàêèì îá-
ðàçîì êðèòåðèé îêàçûâàåòñÿ íàèáîëåå ìîùíûì ñðåäè âñåõ ïîäîáíûõ êðè-
òåðèåâ (è íåñìåùåííûõ êðèòåðèåâ) òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè êàæäûé
ïîäîáíûé êðèòåðèé îáëàäàåò íåéìàíîâñêîé ñòðóêòóðîé. Óñëîâèå, ïðè êî-
òîðîì âåðíî ýòî óòâåðæäåíèå, ôîðìóëèðóåòñÿ â òåðìèíàõ ïîëíîòû ñåìåé-
ñòâà ðàñïðåäåëåíèé ñòàòèñòèêè T. Ïîíÿòèå ïîëíîòû áûëî ââåäåíî â § 2,
íàïîìíèì, ÷òî ýòî îçíà÷àåò.
  Îïðåäåëåíèå 2.3.       Ñòàòèñòèêà T = T (X) íàçûâàåòñÿ ïîëíîé äëÿ ñå-
ìåéñòâà âåðîÿòíîñòíûõ ìåð P = {P ( · | θ), θ ∈ Θ}, åñëè äëÿ ëþáîé èçìåðè-
ìîé ôóíêöèè g ðàâåíñòâî Eθ g( T (X) ) = 0 ïðè âñåõ θ ∈ Θ âëå÷åò g(t) = 0
ïî÷òè âñþäó ïî ëþáîé ìåðå èç ñåìåéñòâà P.
  Ëåììà 9.4. Ïóñòü   X    ñëó÷àéíàÿ âûáîðêà è ïóñòü      T    äîñòàòî÷íàÿ ñòà-

òèñòèêà äëÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ìîäåëè   P.   Åñëè ñåìåéñòâî   PT   = { P T ( · | θ ), θ ∈

                                    111

Страницы