Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Γ } T
P
T
ϕ(X)
P
X
= {P
X
( ·|θ ), θ ∈ Γ }.
E
θ
[ ϕ(X) − α ] = 0 θ ∈ Γ. ψ(t) = E {ϕ(X) − α |T (X) = t},
E
θ
ψ(T ) = 0 θ ∈ Γ. P
T
ψ(t) = 0,
E {ϕ(X) |T (X) = t } = α P
T
,
2
g
X
dP (x |θ) = B( θ ) exp
"
k
X
i=1
θ
i
T
i
(x)
#
d µ(x)
P
T
= {P
T
( ·|θ ), θ ∈ Γ }
T = (T
1
, . . . , T
k
). Γ
Θ k P
T
α
Γ}   ðàñïðåäåëåíèé       T   ïîëíî, òî âñå ïîäîáíûå êðèòåðèè èìåþò íåéìàíîâ-

ñêóþ ñòðóêòóðó ( óäîâëåòâîðÿþò          (9.17) ).
  Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü P T  ïîëíîå ñåìåéñòâî ðàñïðåäåëåíèé è ϕ(X)
 êðèòåðèé, ïîäîáíûé îòíîñèòåëüíî P X = { P X ( · | θ ), θ ∈ Γ }. Òîãäà
Eθ [ ϕ(X) − α ] = 0 ïðè âñåõ θ ∈ Γ. Åñëè ψ(t) = E { ϕ(X) − α | T (X) = t},
òî Eθ ψ(T ) = 0 ïðè âñåõ θ ∈ Γ. Èç ïîëíîòû ñåìåéñòâà P T ñëåäóåò, ÷òî
ψ(t) = 0, îòêóäà
                                                       P -ïî÷òè âñþäó,
                                                        T
                  E { ϕ(X) | T (X) = t } = α
òî åñòü ëþáîé ïîäîáíûé êðèòåðèé èìååò íåéìàíîâñêóþ ñòðóêòóðó.      2
  Èíòåðåñíî çàìåòèòü, ÷òî âåðíî è îáðàòíîå óòâåðæäåíèå: åñëè ïîäîáíûå
êðèòåðèè èìåþò íåéìàíîâñêóþ ñòðóêòóðó, òî ñåìåéñòâî ðàñïðåäåëåíèé äî-
ñòàòî÷íîé ñòàòèñòèêè îãðàíè÷åííî ïîëíî  â îïðåäåëåíèè ïîëíîòû ëþáàÿ
èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ g îãðàíè÷åíà. Ìû íå áóäåì äîêàçûâàòü ýòî óòâåð-
æäåíèå, ïîñêîëüêó îíî èñïîëüçóåòñÿ òîëüêî ïðè äîêàçàòåëüñòâå íèæåñëå-
äóþùåé Òåîðåìû 9.3. Ïîñêîëüêó äîêàçàòü ýòó òåîðåìó ìû òàêæå íå óñïååì
èç-çà íåõâàòêè âðåìåíè, òî çà÷åì, ñïðàøèâàåòñÿ, äîêàçûâàòü âñïîìîãàòåëü-
íûå óòâåðæäåíèÿ, õîòÿ, âîçìîæíî, îíî èìååò ñàìîñòîÿòåëüíûé èíòåðåñ.
Îáðàòèìñÿ ëó÷øå ê ôîðìóëèðîâêå óñëîâèé, ïðè êîòîðûõ ýêñïîíåíöèàëü-
íîå ñåìåéñòâî îáëàäàåò ïîëíûìè äîñòàòî÷íûìè ñòàòèñòèêàìè.
  Ëåììà 9.5. Ïóñòü           X    ñëó÷àéíàÿ âûáîðêà ñ ðàñïðåäåëåíèåì âåðîÿòíî-

ñòåé                                         "                     #
                                                 k
                                                 X
                   dP (x | θ) = B( θ ) exp             θi Ti (x)       d µ(x)
                                                 i=1
              T      T
è ïóñòü   P = { P ( · | θ ), θ ∈ Γ }  ñåìåéñòâî ðàñïðåäåëåíèé âåêòîðíîé
ñòàòèñòèêè T = (T1 , . . . , Tk ). Òîãäà, åñëè ïîäìíîæåñòâî Γ ïàðàìåòðè÷å-
                                                                  T
ñêîãî ïðîñòðàíñòâà Θ ñîäåðæèò k -ìåðíûé ïðÿìîóãîëüíèê, òî P         ïîëíî.




  Ñôîðìóëèðóåì îñíîâíîé ðåçóëüòàò, êîòîðûé âûòåêàåò èç âñåõ ïðåäûäó-
ùèõ ïîñòðîåíèé äàííîãî ðàçäåëà.
  Òåîðåìà 9.3. Êðèòåðèè, îïðåäåëÿåìûå ôîðìóëàìè                           (9.9)  (9.16),   ÿâëÿ-

þòñÿ ÐÍÌ íåñìåùåííûìè êðèòåðèÿìè â êëàññå âñåõ íåñìåùåííûõ êðèòå-

ðèåâ çàäàííîãî óðîâíÿ        α   äëÿ ïðîâåðêè ñîîòâåòñòâóþùèõ ãèïîòåç (A)  (D).


                                           112

Страницы