Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x y
X Y,
λ µ
X Y
p (x, y |λ, µ) =
λ
x
x !
e
−λ
·
µ
y
y !
e
−µ
=
exp{−(λ + µ) }
x ! y !
exp
n
y ln
µ
λ
+ (x + y) ln λ
o
.
θ = ln (µ/λ)
U = Y, ϑ = ln λ
T = X + Y. U
T
p
Y |(X+Y )
(u |t) =
P(Y = u, X + Y = t)
P( X + Y = t )
.
X Y,
P(Y = u, X + Y = t) = P(X = t − u, Y = u) =
λ
u−t
(t − u) !
e
−λ
·
µ
u
u !
e
−µ
,
P ( X + Y = t ) =
( λ + µ )
t
t !
e
−( λ+µ )
.
  Íàèáîëåå ëþáîïûòíûå è ëþáîçíàòåëüíûå ìîãóò ïðî÷èòàòü äîêàçàòåëü-
ñòâà íåäîêàçàííûõ óòâåðæäåíèé â ïàðàãðàôàõ 3 è 4 ãëàâû 4 êíèãè Ý.Ëåìàíà
Ïðîâåðêà ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç.

  9.3 Ïðèìåðû íà ïîñòðîåíèå ðàâíîìåðíî íàèáîëåå ìîùíûõ íå-
ñìåùåííûõ êðèòåðèåâ.
  Ïðèìåð 9.1    . Ñðàâíåíèå ïàðàìåòðîâ èíòåíñèâíîñòè äâóõ ðàñïðåäåëå-
íèé Ïóàññîíà. Ïðàêòè÷åñêè çíà÷èìîå ñîäåðæàíèå äàííîãî ïðèìåðà ìîæíî
èíòåðïðåòèðîâàòü â òåðìèíàõ ñðàâíåíèÿ äâóõ èñòî÷íèêîâ ðàäèàêòèâíîñòè.
Ïóñòü ïîñòðîåíèå âåðîÿòíîñòíîé ìîäåëè ïîçâîëÿåò ñòàòèñòèêó òðàêòîâàòü
ðåçóëüòàòû íàáëþäåíèé x è y íàä êàæäûì îáúåêòîì ðàäèàêòèâíîãî èçëó-
÷åíèÿ êàê ðåàëèçàöèè íåçàèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X è Y, èìåþùèõ
ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðàìè λ è µ ñîîòâåòñòâåííî.
  Ïðåäñòàâèì ñîâìåñòíóþ ôóíêöèþ ïëîòíîñòè X è Y â âèäå (9.8), óäîá-
íîì äëÿ ïðèìåíåíèÿ Òåîðåìû (9.3):
                                     λ x −λ µ y −µ
                   p (x, y | λ, µ) =    e   ·    e  =
                                     x!       y!
              exp{ − (λ + µ) }       n    µ             o
                                 exp y ln + (x + y) ln λ .
                   x! y!                  λ
 òàêîì ïðåäñòàâëåíèè òåñòèðóåìûé ïàðàìåòð θ = ln (µ/λ) ñ ñîîòâåòñòâó-
þùåé åìó äîñòàòî÷íîé ñòàòèñòèêîé U = Y, à ìåøàþùèé ïàðàìåòð ϑ = ln λ
ñ äîñòàòî÷íîé ñòàòèñòèêîé T = X + Y. Óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå U îòíîñè-
òåëüíî T îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâíîé ôóíêöèåé ïëîòíîñòè
                                          P(Y = u, X + Y = t)
                 p Y | (X+Y ) (u | t) =                       .
                                             P( X + Y = t )
  Âû÷èñëèì âåðîÿòíîñòè â ÷èñëèòåëå è çíàìåíàòåëå ýòîé ôîðìóëû, èñ-
ïîëüçóÿ íåçàâèñèìîñòü X è Y, à òàêæå òåîðåìó ñëîæåíèÿ äëÿ ðàñïðåäåëå-
íèÿ Ïóàññîíà,
                                               λ u−t     −λ   µ u −µ
 P(Y = u, X + Y = t) = P(X = t − u, Y = u) =           e    ·    e ,
                                             (t − u) !        u!
                                 ( λ + µ ) t − ( λ+µ )
                  P(X + Y = t) =            e          .
                                     t!



                                           113

Страницы