Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

p( t
0
, t
1
, t
2
|θ) =
n !
t
0
! t
1
! t
2
!
θ
t
0
0
θ
t
1
1
θ
t
2
2
, t
0
+ t
1
+ t
2
= n,
H
0
: θ
1
= θ
2
.
T
0
, T
1
, T
2
n !
t
0
! t
1
! t
2
!
θ
1
1 − θ
0
− θ
1
t
1
θ
0
1 − θ
0
− θ
1
t
0
(1 − θ
0
− θ
1
)
n
,
U = T
1
, T = T
0
, θ = ln
θ
1
1 − θ
0
− θ
1
, ϑ = ln
θ
0
1 − θ
0
− θ
1
.
H
0
: θ
1
= θ
2
= 1 − θ
0
− θ
1
θ = 0.
H : θ 6= 0
T
1
T
0
.
T
0
= t
n −t p = θ
1
/(θ
1
+ θ
2
)
θ
1
= θ
2
p = 1/2 n −t
t p.
T
1
−
n − T
0
2
> C(T
0
).
θ
0
,
T
0
θ
0
T
0
1
íîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ôóíêöèåé ïëîòíîñòè
                                        n!
          p( t0 , t1 , t2 | θ) =                  θ t00 θ t11 θ t22 ,   t0 + t1 + t2 = n,
                                   t0 ! t1 ! t2 !
è ãèïîòåçà, êîòîðóþ íàäëåæèò ïðîâåðèòü èìååò âèä H0 : θ1 = θ2 .
  Ïðåäñòàâèì ñîâìåñòíóþ ôóíêöèþ ïëîòíîñòè ñòàòèñòèê T0 , T1 , T2 â ôîð-
ìå                                 t1               t0
             n!            θ1                 θ0
                                                           (1 − θ0 − θ1 )n ,
        t0 ! t1 ! t2 ! 1 − θ0 − θ1        1 − θ0 − θ1
èç êîòîðîé âèäíî, ÷òî ýòî  ýêñïîíåíöèàëüíîå ñåìåéñòâî ñ
                                                     θ1                   θ0
         U = T1 , T = T0 , θ = ln                            , ϑ = ln             .
                                                 1 − θ0 − θ1          1 − θ0 − θ1
Ãèïîòåçà H0 : θ1 = θ2 = 1 − θ0 − θ1 ýêâèâàëåíòíà ãèïîòåçå θ = 0.
  Ñîãëàñíî òåîðåìå 9.3, äëÿ ïðîâåðêè ýòîé ãèïîòåçû ïðè àëüòåðíàòèâå
H : θ 6= 0 ñóùåñòâóåò ÐÍÌ íåñìåùåííûé êðèòåðèé, äëÿ ïîñòðîåíèÿ êî-
òîðîãî òðåáóåòñÿ íàéòè óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå T1 îòíîñèòåëüíî T0 . Ïðè
ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè T0 = t ïîëèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ïðåâðà-
ùàåòñÿ â áèíîìèàëüíîå ñ ïàðàìåòðàìè n − t è p = θ1 /(θ1 + θ2 ) (äîêàæèòå
ýòî!). Ïðîáëåìà ïðîâåðêè ãèïîòåçû θ1 = θ2 ñâåëàñü ê ïðîáëåìå ïðîâåðêè
ãèïîòåçû p = 1/2 â ñõåìå èñïûòàíèé Áåðíóëëè ñ îáúåìîì èñïûòàíèé n − t
(íàïîìíèì, t  ÷èñëî íè÷üèõ) è âåðîÿòíîñòüþ óñïåõà p. Êðèòè÷åñêàÿ îá-
ëàñòü òàêîãî êðèòåðèÿ (ñ òî÷íîñòüþ äî ðàíäîìèçàöèè) èìååò âèä
                                             n − T0
                                    T1 −                    > C(T0 ).
                                               2
  Òàêèì îáðàçîì, ÐÍÌ íåñìåùåííûé êðèòåðèé îòáðàñûâàåò ñëó÷àè, êî-
ãäà ïðåäïî÷òåíèå íå áûëî âûñêàçàíî, è ñâîäèòñÿ ê ïðèìåíåíèþ êðèòåðèÿ
çíàêîâ ê îñòàâøèìñÿ äàííûì.
  Ìîùíîñòü êðèòåðèÿ ñèëüíî çàâèñèò îò âåðîÿòíîñòè θ0 , îïðåäåëÿþùåé
ðàñïðåäåëåíèå ñòàòèñòèêè T0 (÷èñëî íè÷üèõ). Åñëè θ0 ñëèøêîì âåëèêî, òî
ìû âûíóæäåíû ïðèìåíÿòü êðèòåðèé çíàêîâ íà îñíîâå äîñòàòî÷íî ñêóäíî-
ãî îáúåìà äàííûõ.  êà÷åñòâå àëüòåðíàòèâíîãî ñïîñîáà îáðàùåíèÿ ñ íè-
÷åéíûìè èñõîäàìè èíîãäà ïðåäëàãàþò ïðèïèñûâàòü êàæäîé íè÷üåé çíàê
(+) èëè () íàóäà÷ó, ñ âåðîÿòíîñòüþ 1/2, à ïîòîì óæå ïðèìåíÿòü êðèòå-
ðèé çíàêîâ. Ïîêàæèòå, ÷òî òîãäà ïîëíîå ÷èñëî ïëþñîâ T10 áóäåò èìåòü


                                                    115

Страницы