Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 117 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

p (x |µ, σ
2
) =
1
(2π)
n/2
σ
n
exp
(
−
1
2 σ
2
n
X
i=1
(x
i
− µ)
2
)
=
= ( 2πσ
2
)
−n/2
exp
−
nµ
2
2 σ
2
exp
(
−
1
2 σ
2
n
X
i=1
x
2
i
+
µ
σ
2
n
X
i=1
x
i
)
. (9.18)
σ
2
θ = −
1
2 σ
2
, U(X) =
n
X
i=1
X
2
i
; ϑ =
n µ
σ
2
, T (X) = X =
1
n
n
X
i=1
X
i
.
H
0
: σ
2
6 σ
2
0
θ
H
0
: θ 6 θ
0
.
U(X) =
n
X
i=1
X
2
i
> C(X),
C(x)
P
σ
0
(
n
X
i=1
X
2
i
> C(X) |X = x
)
= α .
P
σ
0
(
n
X
i=1
X
2
i
− n X
2
> C
0
(X) |X = x
)
= α ,
C
0
(x) = C(x) − n x
2
C(x).
n
X
i=1
X
2
i
− n X
2
= nS
2
,
S
2
X, C
0
(x)
x
(n − 1)
P
σ
0
n
X
i=1
(X
i
− X)
2
> C
!
= P
σ
0
nS
2
σ
2
0
>
C
σ
2
0
= 1 − K(C/σ
2
0
) = α,
ðàñïðåäåëåíèÿ â ôîðìå ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (9.8):
                                                         (         n
                                                                                    )
                                          1                    1 X
              p (x | µ, σ 2 ) =      exp                     − 2
                                                              =       (xi − µ)2
                        (2π) n/2 σ n                          2 σ i=1
                                      (       n          n
                                                              )
                            2
                             
                         nµ               1  X         µ X
   = ( 2πσ 2 )−n/2 exp − 2 exp − 2               x2i + 2    xi .                            (9.18)
                         2σ              2 σ i=1      σ i=1
  Ïðè ïîñòðîåíèè ÐÍÌ êðèòåðèåâ â çàäà÷àõ (A)  (D) äëÿ ïàðàìåòðà σ 2
ñðàâíåíèå (9.8) è (9.18) ïîêàçûâàåò, ÷òî
                                    n                                                   n
         1                          X                      nµ                   1X
   θ = − 2,           U (X) =              Xi2 ;         ϑ= 2,      T (X) = X =       Xi .
        2σ                           i=1
                                                           σ                    n i=1
  Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, çàäà÷ó (A), îñòàëüíûå ðåøàþòñÿ àíàëîãè÷íî.
Íóëåâàÿ ãèïîòåçà H0 : σ 2 6 σ02 â òåðìèíàõ ïàðàìåòðà θ èìååò àíàëîãè÷-
íûé âèä H0 : θ 6 θ0 .  ñèëó íåïðåðûâíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ äîñòàòî÷íûõ
ñòàòèñòèê ÐÍÌ êðèòåðèé íåðàíäîìèçèðîâàí è èìååò êðèòè÷åñêóþ îáëàñòü
(ñì. (9.9))
                                                   n
                                                   X
                                    U (X) =              Xi2 > C(X),
                                                   i=1
ãäå êðèòè÷åñêàÿ êîíñòàíòà C(x) îïðåäåëÿåòñÿ èç óðàâíåíèÿ
                                (   n
                                                                    )
                                    X
                          Pσ0              Xi2 > C(X) | X = x           = α.
                                    i=1
  Ýòî óðàâíåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
                          (   n
                                                                         )
                              X                    2
                    Pσ0             Xi2 − n X > C 0 (X) | X = x              = α,
                              i=1

ãäå C 0 (x) = C(x) − n x2 òàêàÿ æå, ïî ñóòè äåëà, êðèòè÷åñêàÿ êîíñòàíòà,
êàê è C(x). Ïîñêîëüêó
                                     n
                                     X                       2
                                              Xi2 − n X = nS 2 ,
                                      i=1

à S 2 íå çàâèñèò îò X, òî è êðèòè÷åñêàÿ êîíñòàíòà C 0 (x) íå çàâèñèò îò
x è îïðåäåëÿåòñÿ èçâåñòíûì íàì èç îáùåãî êóðñà ñïîñîáîì ñ ïîìîùüþ
õè-êâàäðàò ðàñïðåäåëåíèÿ ñ (n − 1) -é ñòåïåíüþ ñâîáîäû:
          n
                          !         2         
        X
                     2                nS     C
   Pσ0       (Xi − X) > C = Pσ0         2 > 2 = 1 − K(C/σ02 ) = α,
         i=1
                                       σ0   σ0

                                                       117

Страницы